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1、数系的扩充_复数,4.1 复数的概念,无实根,一复习引入,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,整数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？,一复习引入,问5：引入一个新数c？,实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginary number unit.所以，用“i”来表示这个新数。,问6：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相
2、关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？,二新课复数的概念,问7：根据这种规定，数的范围又扩充了，会出现什么形式的数呢？,二新课复数的概念,相关概念：,复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位， 当b=0时，a+bi就是实数， 当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。,二新课复数的概念,有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).,i为-1的一个 、-1的另一个 ;,一般地，a(a0)的平方根为 、,平方根,平方根为-i,- a (a0)的平方根为,复数z=a+bi,(a、bR),(b=0),分数,不
3、循环小数,虚数,(b0),特别的当 a=0 时,纯虚数,a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,二新课复数的概念,二新课例题剖析,问9：两个复数之间可以比较大小吗？,两个不全是实数的复数之间是不能比较大小的，但若它们的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等。,二新课复数的概念,例2.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(mi）是：（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，, （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；,（3）当 时，即m=1时，z是纯虚
4、数；,二新课例题剖析,例3.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y R,求 x 与 y .,例4.已知 x2+y2-6 + (x-y-2)i =0,求实数 x 与 y 的值.,二新课例题剖析,x,o,1,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),二新课复数的概念,问10：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的联系？,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴
5、,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,二新课复数的概念,特别注意：虚轴不包括原点。,复数的一个几何意义,例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,二新课例题剖析,例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,不等式解集为空
6、集,所以复数所对应的点不可能位于第四象限.,二新课例题剖析,实数绝对值的几何意义:,能否把绝对值概念推广到复数范围呢？,X,O,A,a,| a | = | OA |,实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。,x,O,z=a+bi,y,| z | = |OZ|,复数的绝对值,复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。,(复数的模),的几何意义:,Z (a,b),二新课复数的概念,例6.设 z C , 满足下列条件的点 z 的集合是什么图形? (1)|z|=4; (2)2|z|4.,二新课例题剖析,例7.若复数z对应点集为圆:,试求z的最大值与最小值.,o1,2,1,1,3,1,二新课例题剖析,一. 数学知识：,二. 数学思想：,(1)复数相等,(2)复平面,(3)复数的模,(3)类比思想,(2)数形结合思想,(1)转化思想,三 小结,
