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1、1.2.2 充 要 条 件,主题充要条件的概念 1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?,提示:pq,故p是q的充分条件,又qp,故p是q的必要条件.,2.通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗? 提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备pq,qp都成立,即pq.,结论:充要条件的概念 如果既有pq,又有qp,就记作pq.此时,我们说p是 q的_条件,简称_条件. 概括地说,如果pq,那么p与q互为
2、_条件.,充分必要,充要,充要,【微思考】 1.符号“”的含义是什么? 提示:符号“”的含义是“等价于”.例如,“pq”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只须p”;“pq”的含义还可以理解为“pq,且qp”.,2.p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗?,提示:不相同.两者都有p与q等价的含义,但是两种叙述方式中的条件与结论不同:“p是q的充要条件”中,“p”是条件,“q”是结论,即pq为真,充分性成立,qp为真,必要性成立;而“q是p的充要条件”中的条件是“q”,结论是“p”,即qp为真,充分性成立,pq为真,必要性成立.,3.若p不是q的充分条件,则q可能是p的
3、必要条件吗?p可能是q的必要条件吗? 提示:充分条件与必要条件是共存的,如果p不是q的充分条件,则q也不是p的必要条件.p可能是q的必要条件.,【预习自测】 1.已知条件p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6x2,则q是p的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选A.p:x2+2x-30,则x1或xx2,即x2-5x+60,得2x3, 所以qp,但p q.,2.设x,yR,则“x2且y2”是“x2+y24” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选A.x2+y24
4、表示以原点为圆心,以2为半径的圆以及圆外的区域,可知点(0,2)在此区域内,此时x=02,即x2+y24不一定推出x2且y2.,3.设a,bR,那么ab=0的充要条件是() A.a=0且b=0 B.a=0或b0 C.a=0或b=0 D.a0且b=0,【解析】选C.由ab=0,知a,b至少有一个为0. 即a=0或b=0, 而由a=0或b=0可得ab=0.,4.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0,且ab0”的_条件.,【解析】因为a0,b0,所以a+b0,ab0, 所以充分性成立;因为ab0,所以a与b同号,又a+b0,所以a0且b0,所以必要性成立.故“a0且b0”是“a+b0且ab
5、0”的充要条件. 答案:充要,类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【典例1】(1)(2017北京高考)设m,n为非零向量，则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,(2)判断下列各题中p是q的什么条件. 在ABC中,p:AB,q:BCAC. p:x1,q:x21. p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3. p:ab,q: 1.,【解题指南】可根据充分、必要、充要条件的特点，分两个步骤进行判断:判断充分性；判断必要性.,【解析】(1)选A.若存在负数，使得m=n,此时非 零向量m，n反向，则有
6、mn0成立，当mn0 时，非零向量m，n的夹角 此时m，n不一定 反向，所以m=n不一定成立，所以“存在负数， 使得m=n”是“mn0”的充分而不必要条件.,(2)由三角形中大角对大边可知,若AB, 则BCAC;反之，若BCAC，则AB. 因此,p是q的充要条件. 由x1可以推出x21;由x21，得x-1或x1，不一定有x1. 因此,p是q的充分不必要条件.,由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0. 因此,p是q的必要不充分条件.,由于a1;当b0时, 0,b0, b. 因此p是q的既不充分也不必要条件.,【方法总结】 判断充
7、分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. (2)集合法:即利用集合的包含关系判断.,(3)等价法:即利用pq与qp的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1p2pn,可得p1pn;充要条件也有传递性.,【拓展延伸】充分条件、必要条件、充要条件与四种命题的关系 判定充分条件、必要条件时,可以与四种命题的关系结合起来.把p与q分别记作原命题的条件与结论,则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下:,如果原命题为真,逆命题为假,那么p是q的充分不必要条件; 如
8、果原命题为假,逆命题为真,那么p是q的必要不充分条件; 如果原命题与逆命题都为真,那么p是q的充要条件; 如果原命题与逆命题都为假,那么p是q的既不充分也不必要条件.,【巩固训练】已知如下命题中: 若aR,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件; 对于实数a,b,c,“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件;,直线l1:ax+y=3,l2:x+by-c=0. 则“ab=1”是“l1l2”的必要不充分条件; “m6”是“y=x2+mx+m+3有两个不同零点”的充要条件. 正确的命题是_.,【解析】中,当a=2时,有(a-1)(a-2)=0;但当 (a-1)(a-2)=0时,
9、a=1或a=2,不一定有a=2. 所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件,正确. 因为ab ac2bc2(c=0),但ac2bc2ab. 所以“ab”是“ac2bc2”必要不充分条件,错.,中,ab=1且ac=3时,l1与l2重合,但l1l2 ,即 ab=1, 所以“ab=1”是“l1l2”的必要不充分条件,正确. 中,y=x2+mx+m+3有两个不同零点=m2-4(m+3) 0m6. 所以是充要条件,正确. 答案:,类型二充分条件、必要条件、充要条件的应用 【典例2】已知条件p:A=x|x2-(a+1)x+a0,条件q: B=x|x2-3x+20,当a为何值时, (1)
10、p是q的充分不必要条件. (2)p是q的必要不充分条件. (3)p是q的充要条件.,【解题指南】先化简p,q对应的集合,再结合p,q的关系转化为集合A,B间的关系,构建方程或不等式可解.,【解析】因为A=x|x2-(a+1)x+a0=x|(x-1)(x-a) 0.B=x|x2-3x+20=1,2, (1)因为p是q的充分不必要条件,所以A B,而当a=1 时,A=1,显然成立,当a1,A=1,a,需1a2, 综上可知1a2时,p是q的充分不必要条件.,(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B A, 故A=1,a,且a2, 所以有a2时,p是q的必要不充分条件. (3)因为p是q的充要条件,所以
11、A=B,故a=2.,【延伸探究】 1.本例条件不变,当a为何值时,q是p的充分不必要条件? 【解析】p:A=x|(x-1)(x-a)0, q:B=1,2,若q是p的充分不必要条件,即qp,但p q, 即p是q的必要不充分条件,故a的取值范围为a2.,2.若把本例中B集合改为:B=x|x2+x-20,其他条件不变,则a为何值? 【解析】B=x|x2+x-20=-2,1, 此时,(1)A B,得:-2a1. (2)B A,得:a-2. (3)A=B,得:a=-2.,【方法总结】 1.集合法求参数的取值范围 利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合A=x|p(x)和B=
12、x|q(x),然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组(也可借助数轴),求出参数的取值范围.,2.反例法判断条件 判断p是q的什么条件,若直接判断困难,还可以用等价命题来判断,有时也可通过举反例否定充分性或必要性.,【补偿训练】若A=x|a3,且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围.,【解析】因为A是B的充分不必要条件, 所以A B, 又A=x|a3. 因此a+2-1或a3, 所以实数a的取值范围是a3或a-3.,类型三充要条件的证明 【典例3】试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0.,【解题指南】
13、,【证明】(1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根 和一个负根,所以=b2-4ac0,x1x2= 0(x1,x2为方程 的两根),所以ac0.,(2)充分性:由ac0及x1x2= 0(x1,x2为方程的两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相 异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一个正根和 一个负根.综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个 正根和一个负根的充要条件是ac0.,【方法总结】证明充要条件的两个关注点 (1)双向性:证明p是q的充要条件,既要证明“pq”为真,又要证明“qp”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.,(2)分清地位:证明充要
14、条件,即说明原命题和逆命题都成立,要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异,分清哪个是条件,哪个是结论.,【巩固训练】求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.,【证明】必要性:若ax2-ax+10对于一切实数x都成立, 由二次函数性质有 即 所以0a4.,充分性:因为00对于一切实数x都成立. 由知,命题得证.,【补偿训练】已知x,y都是非零实数,且xy,求证: 的充要条件是xy0.,【证明】(1)必要性:由 ,得 y,得y-x0. (2)充分性:由xy0及xy, 得 综上所述, 的充要条件是xy0.,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 充分必要条件的判断方法 (1)若qp,且p q,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件. (2)若pq,且qp,则p是q的充要条件(此时q也是p的充要条件).,(3)若p q,且q p,则p是q的既不充分又不必要条件.,
