《高中数学人教A浙江一轮参考课件33导数的综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A浙江一轮参考课件33导数的综合应用（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3导数的综合应用,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题.一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤,-4-,知识梳理,双击自测,3.导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来,方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性和极(最)值问题.,-5-,知识梳理,双击自测,1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x0
2、),则获得最大年利润时的年产量为() A.1百万件B.2百万件 C.3百万件D.4百万件 2.若a2,则方程 x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有 () A.0个根B.1个根 C.2个根D.3个根,C,解析:依题意得,y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当00; 当x3时,y0.因此,当x=3时,该商品的年利润最大.,B,-6-,知识梳理,双击自测,3.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊接成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为() A.6B.8C.10D.12,B,解析:设小正方形
3、边长为x,铁盒容积为y,则 y=(48-2x)2x=4x3-192x2+2 304x,y=12x2-384x+2 304=12(x-8)(x-24). 48-2x0,0x24.,x=8时,ymax=8 192.,-7-,知识梳理,双击自测,4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为() A.(-1,1)B.(-1,+) C.(-,-1)D.(-,+) 5.若f(x)=2x3-6x2+3,对任意的x-2,2都有f(x)a,则a的取值范围为.,B,解析:由已知,f(x)-(2x+4)=f(x)-20, g(x)=f(x)-(2x+4)单调递
4、增.又g(-1)=f(-1)-2=0, f(x)2x+4的解集是(-1,+).,3,+),解析:由f(x)=6x2-12x=0,得x=0或x=2. 又f(-2)=-37,f(0)=3,f(2)=-5,f(x)max=3. 又对任意的x-2,2都有f(x)a,a3.,-8-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.实际问题中函数的定义域,由实际问题的意义和解析式共同确定. 2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值. 3.利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用. 4.函数的零点、不等式证明常转化为函数的
5、单调性、极(最)值问题处理.,-9-,考点一,考点二,考点三,利用导数解决生活中的优化问题(考点难度) 例1某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.,-10-,考点一,考点二,考点三,解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh(元),底面的总成
6、本为160r2(元),所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又根据题意得200rh+160r2=12 000.,-11-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: (1)分析实际问题中各量之间的关系,构造出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),并根据实际意义确定定义域; (2)求函数y=f(x)的导数f(x),解方程f(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点; (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; (4)还原到实际问题中作答.,-12-,考点一,考点二,考点三,对点训练某商场销售某种商品的
7、经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式 (x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,-13-,考点一,考点二,考点三,由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.,-14-,考点一,考点二,考点三,答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,-15-,考点一,考点二,考点三
8、,利用导数研究函数的零点或方程的根(考点难度) 例2(2016全国高考乙卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.,-16-,考点一,考点二,考点三,解:(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0. 所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增. ()设a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).,故当x(-,ln(-2a)(1,+)时,f(x)0; 当x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,ln
9、(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.,-17-,考点一,考点二,考点三,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0; 当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)单调递增,在(1,ln(-2a)单调递减.,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结(1)对于此类问题的求解,一般利用研究函数的单调性、极值等性质,并借助函数图象的交点情况,建立含参数的方程组(或不等式)求解,实现形与数的和谐统一. (2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来,缺乏转化与化归、数形结合的
10、意识.,-20-,考点一,考点二,考点三,-21-,考点一,考点二,考点三,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,利用导数解决不等式的有关问题(考点难度) 例3(2016全国丙高考)设函数f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中0,记|f(x)|的最大值为A. (1)求f(x); (2)求A; (3)证明|f(x)|2A.,-24-,考点一,考点二,考点三,解:(1)f(x)=-2sin 2x-(-1)sin x. (2)(分类讨论)当1时, |f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0). 因此A=3-2
11、. 当01时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cos x-1. (构造函数),-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,-27-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数h(x)0,其中一个重要技巧就是找到函数h(x)什么时候可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口.当然,有时候需要将所证不等式进行等价变形,再构造函数进行证明.,-28-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2017届浙江温州8月模考)设aR,函数
12、f(x)=ax3+ +x+1,g(x)=ex(e是自然对数的底数). (1)证明:存在一条定直线l与曲线C1:y=f(x)和C2:y=g(x)都相切; (2)若f(x)g(x)对xR恒成立,求a的值.,(1)证明:函数f(x),g(x)的导数分别为f(x)=3ax2+x+1,g(x)=ex, 注意到对任意aR,f(0)=g(0)=1,f(0)=g(0)=1, 故直线l:y=x+1与曲线C1:y=f(x)与C2:y=g(x)都相切.,-29-,考点一,考点二,考点三,-30-,审题答题指导利用构造函数解决不等式的有关问题,-31-,-32-,-33-,答题模板 运用导数证明不等式f(x)g(x)
13、成立的一般步骤: 第一步:构造h(x)=f(x)-g(x); 第二步:求h(x); 第三步:判断h(x)的单调性; 第四步:确定h(x)的最小值; 第五步:证明h(x)min0成立; 第六步:得出所证结论. 方法总结利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也是高考的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点对应的函数值与0的关系,实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性,并通过单调性证明不等式.,-34-,对点训练已知函数f(x)=(a+1)ln x+ax2+1, (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)设a-2,证明对任意x1,x2(0,+),|f(x1)-f(x2)|4|x1
14、-x2|.,-35-,(2)证明:不妨假设x1x2.由(1)知当a-2时, f(x)在(0,+)上单调递减. 所以|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|等价于f(x2)-f(x1)4x1-4x2, 即f(x2)+4x2f(x1)+4x1. 令g(x)=f(x)+4x,从而g(x)在(0,+)上单调递减,故g(x1)g(x2), 即f(x1)+4x1f(x2)+4x2, 故对任意x1,x2(0,+),|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|成立.,-36-,高分策略1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.,
