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1、2.8函数与方程,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)函数零点的等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与有交点函数y=f(x)有. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点,即存在c(a,b),使得,这个也就是方程f(x)=0的根. (4)函数零点的判定方法:解方程f(x)=0;使用零点存在性定理;数形结合.,f(x)=0,x轴,零点,f(a)f(
2、b)0,(a,b),f(c)=0,c,-4-,知识梳理,双击自测,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,-5-,知识梳理,双击自测,1.函数 的零点个数为() A.0B.1C.2D.3,B,-6-,知识梳理,双击自测,2.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则m的取值范围是() A.(-2,6) B.-2,6 C.-2,6 D.(-,-2)(6,+),D,解析:由题意,有=m2-4(m+3)0, 即(m-6)(m+2)0,解得m6或m-2,故选D.,-7-,知识梳理,双击自测,3.在以下区间中,存在函数
3、f(x)=x3+3x-3的零点的是() A.-1,0B.1,2C.0,1D.2,3 4.函数f(x)=x3-2x2+x的零点是. 5.已知函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间为(k,k+1)(kN*),则k的值为.,C,解析:注意到f(-1)=-70, f(2)=110,f(3)=330.故选C.,0和1,解析:解方程x3-2x2+x=0,得x=0或x=1,故函数f(x)的零点是0和1.,3,解析:由题意知,当x1时,函数f(x)单调递减, 因为f(3)=ln 3-10,f(4)=ln 4-20, 所以该函数的零点在区间(3,4)内.所以k=3.,-8-,知识梳理,双击自测,自测
4、点评 1.函数y=f(x)的零点数值上等于函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标值,而不是函数f(x)的图象与x轴的交点. 2.零点存在性定理应用过程中要注意函数必须在区间上是连续的. 3.若函数y=f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,则f(x)在a,b上只有一个零点.,-9-,考点一,考点二,考点三,判断函数零点所在的区间(考点难度) 例1(1)已知函数f(x)= -log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是() A.(0,1)B.(1,2) C.(2,4)D.(4,+) (2)设函数f(x)=ex-1+4x-4,g(x)=ln x- .若f(x1)=g(x2)=0,则
5、() A.0g(x1)f(x2)B.g(x1)0f(x2) C.f(x2)0g(x1)D.f(x2)g(x1)0,C,B,-10-,考点一,考点二,考点三,-11-,考点一,考点二,考点三,方法总结判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上; (2)利用函数零点存在性定理进行判断; (3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,-12-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别
6、位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(-,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+)内 D.(-,a)和(c,+)内 (2)若x0是方程2x+x=2的解,则x0所在的区间是 () A.(-2,-1)B.(-1,0) C.(0,1)D.(1,2),A,C,-13-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)因为a0, f(b)=(b-c)(b-a)0. 因此有f(a)f(b)0,可知函数f(x)有且只有一个零点, 且该零点在区间(0,1)上.所以方程2x+x=2的解在区间(0,1)上.,-14-,考点一,考点二,考点三,判断函数零点的个数(考点难度) 例2(1)(2016广东广州模拟
7、)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为() A.1B.2C.3D.4 (2)(2015浙江嘉兴测试)已知函数 则下列关于函数y=ff(kx)+1+1(k0)的零点个数的判断正确的是() A.当k0时,有3个零点;当k0时,有4个零点;当k0时,有3个零点 C.无论k为何值,均有3个零点 D.无论k为何值,均有4个零点,B,C,-15-,考点一,考点二,考点三,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结函数零点个数的判断方法: (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区
8、间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.,-18-,考点一,考点二,考点三,D,C,-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,函数零点的综合应用(考点难度),-4a-1,-21-,考点一,考点二,考点三,解析:(1)当a0时,2x-a0, 由4(x-a)(x-2a)=0得x=a或x=2a. a1,+),2a1,+),此时f(x)无零点.,当1a2时,在x1的情况下,2x=a
9、,x=log2a0,1),在x1的情况下,由f(x)=0,得x=a或2a,a1,+),2a1,+),有3个零点,不合题意. 当a2时,在x1的情况下,2x-a0, 在x1的情况下,由f(x)=0,得x=a或2a,a1,+),2a1,+),此时恰有2个零点.,-22-,考点一,考点二,考点三,(2)由题意可知,函数f(x)的图象如图所示.令f(x)-a=t,则要使y=ff(x)-a有6个零点,则由f(t)=0,解得t1=0,t2=1,t3=5,所以有f(x)=a或f(x)=a+1或f(x)=a+5,且a4,无解. 综上可知,满足条件的实数a的取值范围是-4a-1.,-23-,考点一,考点二,考点
10、三,方法总结已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.,-24-,考点一,考点二,考点三,(-,0)(1,+),A,-25-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)的图象与直线y=b有两个不同的交点. 当0a1时,由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点. 当a0,所以,当0
11、1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但a3a2,所以当a21.,-26-,考点一,考点二,考点三,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,当m1时直线y=m与f(x)的图象有两个交点,当m1时直线y=m与f(x)的图象有一个交点,题意要求方程f2(x)+f(x)+t=0有三个不同的实根,则方程m2+m+t=0必有两个不等实根,且一根小于1,一根不小于1,当1+1+t=0,即t=-2时,方程m2+m-2=0的两根为1和-2,符合题意,当1+1+t0,即t-2时,方程m2+m+t=0有两个不等实根,且一根小于1
12、,一根大于1,符合题意. 综上,可知t-2.故选A.,-28-,思想方法巧用函数与方程思想求解函数零点问题 函数与方程思想是一种重要的数学思想,根据等价条件,方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.求函数的零点个数,就是求方程的根的个数,也就是方程两边取函数,转化成求函数图象的交点个数,实现方程思想和函数思想的转化.判断函数零点的个数,以及已知函数零点求参数的取值范围等问题都可以利用函数与方程思想,把方程问题转化成函数图象交点问题结合函数图象来解决.,-29-,典例已知函数f(x)=|x2+3x|,xR.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实
13、数根,则实数a的取值范围为. 答案:(0,1)(9,+) 解析:方法一:在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=|x2+3x|和g(x)=a|x-1|的图象(如图).,-30-,问题转化为函数f(x)与g(x)的图象恰有四个交点.当直线y=a(x-1)与曲线y=x2+3x(或y=-a(x-1)与y=-x2-3x)相切时,函数f(x)与g(x)的图象恰有三个 交点.把y=a(x-1)代入y=x2+3x,得x2+3x=a(x-1),即x2+(3-a)x+a=0,由=0,得(3-a)2-4a=0,解得a=1或a=9.又当a=0时,函数f(x)与g(x)的图象仅有两个交点,所以09.,-31-,方法总结方程的根的个数问题转化成函数图象的交点问题,要保证两点:(1)所取的函数容易画图;(2)尽量把参数分离.,-32-,对点训练已知函数 若方程f(x)-a|x|=0恰有4个实根,则实数a的取值范围为.,(1,2),-33-,高分策略1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.,
