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1、第二章 矩阵,2 可逆矩阵与逆矩阵,1 矩阵的概念与运算,4 初等矩阵、矩阵的秩,3 分块矩阵、矩阵的初等变换,一、矩阵的概念,二、矩阵的运算,1 矩阵的概念与运算,记作：,一、矩阵的概念,1定义,数表 称为一个 矩阵,2、一些特殊矩阵,零矩阵,行矩阵,列矩阵,方阵,对角矩阵,单位矩阵,数量矩阵,设 n 阶方阵,(1) 若 满足,定义,则称 A 为对称矩阵；,(2) 若 满足,则称 A 为反对称矩阵.,二、矩阵的运算,则称矩阵A与B为同型矩阵,1、同型矩阵,则称矩阵A与B相等，记作 AB,2、矩阵的相等,(1)定义,设 则矩阵,称为矩阵A与B的和，记作 即,3、矩阵的加法,说明,只有当两个矩阵
2、是同型矩阵时，才能进行加法运算.,设 矩阵,称为A的负矩阵，记作A .,即, 交换律, 结合律,定义,(2)性质,(3)减法,称为矩阵 A 与数 入 的数量乘积记作：,4、矩阵的数乘,(1)定义,设 则矩阵,即,(2)性质,注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.,设 则 矩阵,其中,称为 与 的积，记为 ,(1)定义,5、矩阵的乘法, 乘积 有意义要求 A 的列数 的行数., 乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行,乘 的第 列相应元素相加得到,注意,如,不存在.,而,例1,例2,例3,注意, 未必 ,若 ，称A与B可交换, 一般地，,即 且 时，有可能 , 未必有 或 ,
3、(2)性质,5),(结合律),（分配律),(数量矩阵与任意矩阵可交换),(数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法),设 为 阶方阵 定义,称 为 的 次幂.,6、矩阵的方幂,定义,个,3) 一般地 ,性质,解:,例4设 求,由此归纳出,用数学归纳法证明之.,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,故对于任意 都有,设 的转置矩阵是指矩阵,记作 或 (transpose),7、转置,(1)定义,(2)性质,5）设A为对称矩阵，则,6）设A为反对称矩阵，则,3）证：,设,中 的元素为,从而 中 的元素为,中的 元素为,又的第 i 行元素为,的第 j 列元素为,8、方阵的行列式,性质1：若 A 为 n 阶方阵，则,定义：若 A 为 n 阶方阵，由A的元素构成的行列式,称为方阵A 的行列式，记为,性质2：若 A ，B为 n 阶方阵，则,附: 共轭矩阵,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数）,
