《四川省成都市第七中学数学人教A选修231.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市第七中学数学人教A选修231.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理习题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,分类计数原理与分步计数原理有什么不同？,分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,例1. (1)若a、b是正整数且 a+b6 ，则以(a，b)为坐标的点共有多少个？ (2)若x、y是整数，且 |x|6，|y|7 ，则以(x , y)为坐标的不同的点共有多少个？,解：(1)按a的取值分类：a=1时，b有5个值，a=2时，b有4个值， a=3时，b
2、有3个值， a=4时，b 有2个值， a=5时，b有1个值 用分类计数原理，所有满足条件的点的坐标共有： 5+4+3+2+1=15(个) (2)先确定x的取值，共有13个值，再确定y的取值，共有15个值， 用分步计数原理，所有满足条件的点的坐标共有： 1315=195(个),例3.已知集合A=-2，0 ，1 ，3，集合B=-5，-4，2，4从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，那么在平面直角坐标系内，位于第一、二象限中不同的点共有多少个？,分析：本题要完成的事情是：选出横坐标、纵坐标组成一个点，但没有说明从哪个集合中选出的数作为横坐标，从哪个集合中选出的数作为纵坐标，因此选法可分两类：(1)从
3、A中选出一数作为横坐标,从B中选出一数作为纵坐标;(2)从B中选出一数作为横坐标,从A中选出一数作为纵坐标而每一类选法中又分两步完成,解：选法分为两类： (1)先从A中选出一个数作为横坐标，有3种选法，再从B中选出一个数作为纵坐标，有2种选法（因为纵坐标必须大于0），故共有32=6种选法 (2)先从B中选出一个数作为横坐标，有4种选法，再从A中选出一个数作为纵坐标，有2种选法，故共有42=8种选法 根据分类计数原理，所有选法总数是6+8=14种，也即位于第一、二象限内的点共有14个,练习1 设集合 M=-3，-2，-1，0，1，2，P(a，b)是坐标平面上的点，a,bM，P 可以表示 (1)
4、平面上多少个不同的点? (2) 第二象限内的多少个点? (3) 不在直线 y=x 上的多少个点？,解：,(1) 分两步：,第一步，确定横坐标有,6种方法；,第二步，确定纵坐标有,6种方法.,根据分步计数原理得：,P 可以表示平面上 N=66=36 个不同的点.,练习1 设集合 M=-3，-2，-1，0，1，2，P(a，b)是坐标平面上的点，a,bM，P 可以表示 (1) 平面上多少个不同的点? (2) 第二象限内的多少个点? (3) 不在直线 y=x 上的多少个点？,解：,(2) 分两步：,第一步，确定横坐标有,3种方法；,第二步，确定纵坐标有,2种方法.,根据分步计数原理得：,P 可以表示第
5、二象限内的N=32=6 个点.,练习1 设集合 M=-3，-2，-1，0，1，2，P(a，b)是坐标平面上的点，a,bM，P 可以表示 (1) 平面上多少个不同的点? (2) 第二象限内的多少个点? (3) 不在直线 y=x 上的多少个点？,解：,(3) 分两步：,第一步，确定横坐标有,6种方法；,第二步，确定纵坐标有,5种方法.,根据分步计数原理得：,P 可以表示不在直线 y=x 上的N=65=30 个点.,从集合1,2,3，,20中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？,例2. (1)六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？ (2
6、)六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？,解：(1)把报名过程分为六步，第一个人报名有三种方法，第二个人报名有3种方法，以此类推，不同的报名结果共有：,(2)把比赛决出冠军的过程分为三步，先决出第一项目的冠军，有6种结果，再决出第二项目冠军，有6种结果，以此类推，比赛冠军的不同结果数为:,想一想：如果去掉(1)中每人限报一项的要求，又有多少种不同的报名结果？,我们把三个项目记为a、b、c，这样每个人就有八种不同选择，分别为选a、选b、选c、选ab、选ac、选bc、选abc以及不选再用原来的分步方法，使用分步计数原理，共有86种不同的投报结果,36 = 729 种,63 =
7、216 种,某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有,染色问题,导学案p47例二及变式二,导学案p43变式二,练习2 长方形的两条对角线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？,A,B,C,D,解：,由题意四部分最多涂4种颜色，,最少涂2种颜色，,(1) 若涂4种颜色，则不同的涂色方法有,(2) 若涂3种颜色，则不同的涂色方法有,(3) 若涂2种颜色，则不同的涂色方法有,综上所述，由分类计数原理得：,共有,练习2 长方形的两条对角
8、线把长方形分成四部分，如图用五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法？,A,B,C,D,解2：,(1) 若A、C 同色，,则不同的涂色方法有：,共有,(2) 若A、C 异色，,则不同的涂色方法有：,由分类计数原理得：,例4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？,解：,从颜色的种类进行分类：,（1）涂五色：,（2）涂四色：,（3）涂三色：,有 54321,=120 种 .,有 54322,=240 种 .,有两顶点涂同一色，,（A、C 或
9、B、D）,将A与C ， B与D分别涂同一色，,有 1032,= 60 种 .,由加法原理得，,不同的染色方法有：,120 + 240 +60 = 420 种 .,解2：,(1) 若A、C 同色，,则不同的涂色方法有：,(2) 若A、C 异色，,则不同的涂色方法有：,由加法原理得，,不同的染色方法有：,180 + 240 = 420 种 .,例4. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱的两端点异色，如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？,种植问题：,导学案p48例三及变式三,导学案p44例1及变式1,数字问题,导学案p46变式1,在所有的两位数中，个位数字比十位数字大
10、的两位数有多少个？,解：分析个位数字，可分以下几类 个位是9，则十位可以是1，2，3，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，7中的一个，故有7个； 与上同样： 个位是7的有6个； 个位是6的有5个； 个位是2的只有1个,由分类计数原理知，满足条件的两位数有:,（个）,分析：第(1)和第(2)小题可以认为从上面6个数中选出三个数去 填三个空 ，故应分三步完成百位数不能填0，同时应注意数字可重复与不可重复的区别第(3)小题应先分类再分步,解：(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；再选十位数字，由于数字不允许重复，因此只能从剩下的5个数字中选一个，有5
11、种选法；最后选个位数字，由于百位数、十位数已经选去了2个数字，故只能从剩下的4个数字中选一个，因此有4种选法由分步计数原理得，所求三位数共有554=100个,用0,1,2,3,4,5这6个数字： (1)可以组成_个数字不重复的三位数 (2)可以组成_个数字允许重复的三位数 (3)可以组成_个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数,解：(2)分三步：百位数字有5种选法；由于数字允许重复，故十位数字有6种选法；个位数字也有6种选法因此所求三位数共有566=180个,(3)分四类：千位数字为3、4之一时，有2543=120个；千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有1443=48个；千位数字是5百位数字是4，十位数字是0,1之一时共有1123=6个；最后还有5420也满足条件 所以所求四位数共有120+48+6+1=175个,用0,1,2,3,4,5这6个数字： (1)可以组成_个数字不重复的三位数 (2)可以组成_个数字允许重复的三位数 (3)可以组成_个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数,导学案p44（问鼎高考）,如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（） A12对B24对C36对D48,由分步计数原理，构成异面直线有,分析：,64=24 (对),选 C .,课后作业,教辅课时作业 计数原理（2）（3）,
