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1、12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.离散型随机变量的均值与方差,知识梳理,一般地，若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值 称E(X) 为随机变量X的均值或 .它反映了离散型随机变量取值的 .,平均水平,数学期望,(2)方差 称D(X) 为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的 ，并称其算术平方根 为随机变量X的 .,平均偏离程度,标准差,(1)E(aXb) . (2)D(aXb) .(a，b为常数),2.均值与方差的性质,aE(X)b,a2D(X),(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X
2、) ，D(X) . (2)若XB(n，p)，则E(X) ，D(X) .,3.两点分布与二项分布的均值、方差,p,p(1p),np,np(1p),(1)正态曲线：函数，(x) ，x(，)，其中实数和为参数(0，R).我们称函数，(x)的图象为 ，简称正态曲线.,4.正态分布,正态分布密度曲线,(2)正态曲线的性质 曲线位于x轴 ，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 对称； 曲线在 处达到峰值 ； 曲线与x轴之间的面积为 ； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定， ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； ，曲线越“矮胖”，表示总
3、体的分布越分散，如图乙所示.,上方,x,x,1,越小,越大,(3)正态分布的定义及表示 一般地，如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足P(aXb) ，则称随机变量X服从正态分布，记作 . 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(X) ； P(2X2) ； P(3X3) .,0.6826,0.9544,0.9974,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.() (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.() (3)正态分布中的参数和完全确定了正态
4、分布，参数是正态分布的均值，是正态分布的标准差.() (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.() (5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.(),考点自测,1.(教材改编)某射手射击所得环数的分布列如下：,答案,解析,已知的均值E()8.9，则y的值为,A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9,可得y0.4.,答案,解析,2.设随机变量的分布列为P(k) (k2,4,6,8,10)，则D()等于,A.8 B.5C.10 D.12,3.已知随机变量X8，若XB(10,0.6)，则随机变量的均值E()及方差D()分别是,答
5、案,解析,D(X)100.6(10.6)2.4，,A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6,设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)，,因为XB(10,0.6)，所以E(X)100.66，,故E()E(8X)8E(X)2，,D()D(8X)D(X)2.4.,4.设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为_.,答案,解析,所以y1，y2，y10的均值为1a，方差不变仍为4.,1a,4,5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布N(100,102)，已知P(9010
6、0)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_.,答案,解析,该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.25010.,10,题型分类深度剖析,题型一离散型随机变量的均值、方差,命题点1求离散型随机变量的均值、方差 例1(2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： (1)“星队”至少猜对3个成语的
7、概率；,解答,记事件A：“甲第一轮猜对”，,记事件B：“乙第一轮猜对”，,记事件C：“甲第二轮猜对”，,记事件D：“乙第二轮猜对”，,记事件E：“星队至少猜对3个成语”.,由事件的独立性与互斥性，,(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E().,解答,由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.,由事件的独立性与互斥性，得,可得随机变量X的分布列为,命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分. (1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机
8、会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；,解答,由题意得2,3,4,5,6，,所以的分布列为,解答,由题意知的分布列为,解得a3c，b2c，故abc321.,离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解. (2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值. (3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.,思维升华,跟踪训练1(2015四川)某市A，B两所中学的学
9、生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；,解答,(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值.,解答,根据题意，X的可能取值为1,2,3，,所以X的分布列为,题型二均值与方差在决策中的应用,例3(2016全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元
10、.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.,解答,(1)求X的分布列；,由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，从而,P(X16)0.20.20.04，,P(X17)20.20.40.16，,P(X18)20.2
11、0.20.40.40.24，,P(X19)20.20.220.40.20.24，,P(X20)20.20.40.20.20.2，,P(X21)20.20.20.08，,P(X22)0.20.20.04.,所以X的分布列为,(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；,解答,由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，,故n的最小值为19.,(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？,解答,记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).,当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08
12、(192003500)0.044 040；,当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.,可知当n19时所需费用的均值小于n20时所需费用的均值， 故应选n19.,随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.,思维升华,跟踪训练2某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利
13、30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为 ； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 . 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.,解答,若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为,若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，,这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.,综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,题型三正态分布的应用,例4(1)(2015湖北)设XN(1， )，YN(2，
14、 )，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是,A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数t，P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t，P(Xt)P(Yt),答案,解析,对于A项，因为正态分布曲线关于直线x对称，所以12.,所以P(Y1)0.5P(Y2)，故A项错误；,对于B项，因为X的正态分布密度曲线比Y的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以12.,所以P(X1)P(X2)，故B项错误；,对于C项，由图象可知，在y轴的右侧某处，显然满足P(Xt)P(Yt)，故C项错误；,对于D项，在y轴右侧作与x轴垂直的一系列平行线，可知在任何情况下，X的正态分布密度曲线与x轴之
15、间围成的图形面积都大于Y的正态分布密度曲线与x轴之间围成的图形面积，即对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故D项正确.,(2)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：,求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；,解答,由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数 ，2近似为样本方差s2. ()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；,解答,由知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.
16、2)0.682 6.,()某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用()的结果，求E(X). 附： 12.2. 若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.,解答,由()知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，,依题意知XB(100,0.682 6)，,所以E(X)1000.682 668.26.,解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出
