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1、第九章 振动学基础,9-1 简谐振动的规律,9-2 简谐振动的描述,9-3 简谐振动的合成,第九章 振动学基础,9-1 简谐振动的规律,预习要点 注意简谐振动的规律和特点. 如何判断一个振动是否为简谐振动？ 简谐振动的能量有什么特点? 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐振动的周期？ 研究谐振子模型的意义何在？,一、简谐振动的定义,1.弹簧振子,一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.,2.弹簧振子振动的微分方程,弹簧振子偏离平衡位置O后，仅因回复力(弹性力)和惯性而自由往返运动.,有,弹簧振子的振动微分方程(动力学方程),解微分方程
2、得,令,(1) 位移时间关系(振动方程),(2)速度时间关系,(4)能量特征,(3)加速度时间关系,弹簧振子的总的机械能,由,弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常量，即系统的机械能守恒.,(5)振动曲线,3.简谐振动的定义,4.简谐振动的判据 (1)运动的微分方程(定义式). (2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.,任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程,其中 是系统固有性质决定的常数,则此物理量作简谐运动.,二、简谐振动的固有周期,周期,频率,振动往复一次所需时间.,角频率,都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.,例:
3、 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆动. 求振动周期.,重力矩,“ ”表示力矩与逆时针张角方向相反.,解:,令,得到振动微分方程,由,表明棒作角简谐振动,三、谐振子模型,符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼LC振荡电路等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观谐振子可揭示其能量量子化.,9-2 简谐振动的描述,预习要点 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确定它们的数值？ 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.,一、振幅和初相位,1. 振幅,质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对
4、值.,表征了系统的能量，由初始条件决定.,由,有,得,2. 相位,在 中， 称为振动的相位.,（1） ， 存在一一对应的关系；即其决定质点在时刻t的位置和速度(即时刻t的运动状态).,（2）初相位 描述质点初始时刻的运动状态(初位置 和初速度 . 已知初始条件 也可确定初相.,上式可求得 在 区间内两个解，应进一步由 的符号判定 和 的符号后选定其中的一个解.,例：如图所示的水平弹簧振子中，设弹簧劲度系数 ，物体质量 。今把物体向右 拉至距平衡位置0.1m处，并给以一向右的初速度为 ，然后放手。试求物体在放手后第3s末的 运动状态。,解：由已知可知：,以平衡位置为原点，向右为正方向，求得：,物
5、体的振动方程为：,t=3s时，物体的位置和速度分别为：,二、相位差,两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与时间无关.,2.超前和落后,若 ，则x2比x1较早达到正方向最大位移处，称x2比x1超前(或x1比x2落后).,3.同相和反相,当 =2k， ( k = 0,1,2,)，两振动步调相同，称同相.,当=(2k+1)， ( k=0,1,2,)，两振动步调相反，称反相.,三、简谐振动的旋转矢量表示法,可见，旋转矢量的长度A、角速度 和t=0时与x轴的夹角 分别代表投影点简谐振动的三个特征量：振幅、角频率和初相位.,所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其始端的直线(x轴)上的投影的运动就是简谐振动.,物理模型与数学模型比较,9-3简谐振动的合成,预习要点 注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 分振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？ 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.,一、两个同方向同频率的简谐振动的合成,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动，角速度不变.,合振动振幅最大.,合振动振幅最小.,3. 一般情况,*二、两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成,两式消去t，合振动,分振动,为椭圆轨迹方程，顺时针运行.,为直线方程.,1.,同相位,2.,为标准椭圆方程，逆时针运行.,3.,反相位,4.,为标准椭圆方程，逆时针运行.,为直线方程.,
