《人教高中数学必修三课件222用样本的数字特征估计总体的数字特征新知探求》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教高中数学必修三课件222用样本的数字特征估计总体的数字特征新知探求（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,【知识提炼】 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数_的数. (2)中位数：把一组数据按_的顺序排列，处 在_位置的数(或中间两个数的_)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么 =_ 叫做这n个数的平均数.,最多,从小到大(或从大到小),平均数,中间,2.标准差、方差的概念及计算公式 (1)标准差 定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示. 计算公式：s=_. (2)方差 定义：标准差的平方. 计算公式：,【即时小测】 1.思考下列问题： (1)众数、中位数及平均数中哪个量最
2、能反映总体的情况? 提示：由于平均数与每个样本数据都相关，故平均数最能反映总体的情况. (2)当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点? 提示：当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等.,2.高一(18)班十位同学的数学测试成绩分别为：82，91，73，84，98，99，101，118，98，110，则该组数据的中位数是() A.98B.99C.98.5 D.97.5 【解析】选A.将这组数据按从小到大排列为73，82，84，91，98，98，99，101，110，118，则最中间的两个数为98，98，故中位数是 (98+98)=98.,3.样本101，98，102，100，99的标准差为(
3、) A. B.0 C.1 D.2 【解析】选A.样本平均数 =100，方差为s2=2，所以标准差s= .,4.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为() A.92，2B.92，2.8C.93，2D.93，2.8 【解析】选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，所以,5.若一组数据8，9，11，12，x的平均数为10，则实数x=. 【解析】由题意得8+9+11+12+x=510，解得x=10. 答案：10,【知识探究】 知识点1 众
4、数、中位数、平均数 观察如图所示内容，回答下列问题：,问题(1)如何求出工资的众数、中位数、平均数? 问题(2)众数、中位数、平均数各有什么优缺点?,【总结提升】三种数字特征的优缺点 (1)众数：优点：体现了样本数据的最大集中点；容易计算. 缺点：它只能表达样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体特征. (2)中位数：优点：不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；容易计算，便于利用中间数据的信息. 缺点：对极端值不敏感.,(3)平均数：优点：是反映数据集中趋势的量.一般情况下可以反映出更多关于样本数据全体的信息. 缺点：代表性不强，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数
5、据越“离群”，对平均数的影响越大.,知识点2 方差、标准差 观察如图所示内容，回答下列问题： 在一次全运会射击选拔中，两位运动员各 射击10次，成绩如下： 甲：9 8 8 7 6 7 8 9 8 9 乙：8 8 9 8 7 8 6 7 8 10 问题1：以上两运动员谁的射击水平高?谁的临场发挥更稳定? 问题2：选谁参加全运会更合适?,【总结提升】 1.对方差与标准差概念的三点说明 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围是：0，+).,(3)因为方差与原始数据的单位相同，且平
6、方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. 2.有关平均数、方差的一些结论 若数据x1，x2，xn的平均数为 ，方差为s2. (1)ax1，ax2，axn的平均数为 ，方差为a2s2. (2)数据mx1+a，mx2+a，mxn+a的平均数为 ，方差为m2s2.,【题型探究】 类型一 众数、中位数、平均数的计算 【典例】1.某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是() A.91.5和91.5B.91.5和92 C.91和91.5D.92和92,2.某小区广场上有甲、乙两群市民正
7、在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?,【解题探究】1.典例1中中位数指什么? 提示：典例1中中位数是指将一组数从小到大排列后中间的数或中间的两个数的平均值. 2.典例2中甲、乙两组数据的特点是什么? 提示：甲中的数据相差不大，而乙组的数据则相差很大.,【解析】1.选A.这组数
8、据由小到大排列为87，89，90，91， 92，93，94，96.所以中位数是 =91.5， 平均数 2.(1)甲群市民年龄的平均数为 中位数为15岁，众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.,(2)乙群市民年龄的平均数为 中位数为6岁，众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.,【方法技巧】平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.,【变式训练】(2015广东高考)已知样本数
9、据x1，x2，xn的均值 =5，则样本数据2x1+1，2x2+1，2xn+1的均值为. 【解析】因为样本数据x1，x2，xn的均值 =5，则样本数据2x1+1，2x2+1，2xn+1的均值为 答案：11,类型二 标准差、方差的应用 【典例】1.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 则7个剩余分数的方差为() A. B. C.36D.,2.(2015阳泉高一检测)从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39
10、21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米的苗长得高? (2)哪种玉米的苗长得齐?,【解题探究】1.典例1中怎样求出x的值? 提示：典例1中可根据茎叶图和平均数的计算公式求出x. 2.典例2中用哪个量比较玉米长得高低?用哪个量衡量玉米苗长得齐? 提示：典例2中看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的苗的均高即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米的苗高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数.,【解析】1.选B.由图可知去掉的两个数是87，99， 所以87+902+912+94+90+x=917，解得x=4. 故s2=
11、(87-91)2+(90-91)22+(91-91)22+(94-91)22= . 2.(1) = (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= 300=30(cm)， = (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40) = 310=31(cm). 所以 即乙种玉米苗长得高.,(2) = (25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14 -30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2 = (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)= 1042 =
12、104.2(cm2)， = 2(27-31)2+3(16-31)2+2(44-31)2+3(40-31)2 = 1288=128.8(cm2). 所以 即甲种玉米苗长得齐.,【延伸探究】 1.(改变问法)若典例1条件不变，求9个数据的平均数. 【解析】由题意知，7个数据的平均数为91，则9个数据的平均数为 (917+87+99)= .,2.(改变问法)若典例1条件不变，求9个数据的方差，并说明为什么要去掉一个最低分和一个最高分. 【解析】由 则方差为 因为 所以7个数的方差远小于9个数的方差，因此在评委打分后一般要去掉一个最低分和一个最高分.,【方法技巧】 1.用样本的标准差、方差估计总体的方
13、法 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况.,2.标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大，数据的离散程度较大；标准差(方差)较小，数据的离散程度较小. (2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性.,【补偿训练】甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分
14、别计算两组数据的平均数及方差. (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.,【解析】 (1) (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同， 又 所以乙机床加工零件的质量更稳定.,类型三 频率直方图与数字特征的综合 【典例】1.甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.,甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； 甲同学的平均分比乙同学高； 甲同学的平均分比乙同学低； 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差 上面说法正确的是() A.B.C.D.,2.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示. (1)求这次测试数学成绩的
15、众数. (2)求这次测试数学成绩的中位数.,【解题探究】1.典例1中如何用茎叶图求平均数、中位数和方差? 提示：由茎叶图读取甲、乙两人的成绩，再求平均数、中位数和方差. 2.典例2中如何利用频率分布直方图求众数、中位数? 提示：典例2中众数、中位数分别是频率分布直方图中高度最高的小矩形的中间值、累计频率为0.5时所对应的样本数据的值.,【解析】1.选A.甲的中位数81，乙的中位数87.5，故错，排除B，D；甲的平均分 乙的平均分 故错，对，排除C. 2.(1)由题干图知众数为 (2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.30.40.5，因此中位数
16、位于第四个矩形内，得0.10.03(x70)，所以x73.3.,【延伸探究】若典例2条件不变，求数学成绩的平均分. 【解析】由题干图知这次数学成绩的平均分为：,【方法技巧】众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.,【变式训练】某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：,(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平
