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1、,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与,最大值最小值,第三章,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大值点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小值点 ,称 为函数的极小值 .,极大值点与极小值点统称为极值点 .,一、函数的极值及其求法,注意:,为极大值点,为极小值点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如 ,为极大值点,是极大值,是极小值,为极小值点,函数,3) 极值的必要条件,费马(Fermat)引理：,且,存在,费马,可导函数的极值点一定是驻点；,即,但驻点未必
2、是极值点.,比如,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),点击图中任意处动画播放暂停,例1. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,二、最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值
3、可疑点,(2) 最大值,最小值,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点,是否为最大 值点或最小值点 .,(小),例3. 求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,因此也可通过,例3. 求函数,说明:,求最值点.,与,最值点相同 ,由于,令,( 自己练习 ),在闭区间,上的最大值和最小值 .,( k 为某常数 ),例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB
4、 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运,为使货物从B 运到工,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小值点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,厂C 的运费最省,从而为最小值点 ,问D点应如何取?,Km ,公路,价之比为3:5 ,例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,问矩形截面,的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?,解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为,令,得,从而有,即,由实际意义可知 , 所求最值存在 ,驻点只一个,故所求,结果就是最好的选择 .,存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来.,售出该产品 x
5、 千件的收入是,例6. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是,解: 售出 x 千件产品的利润为,问是否,故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润,而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.,说明：在经济学中,称为边际成本,称为边际收入,称为边际利润,由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上,即边际收入边际成本,（见右图）,即,收益最大,亏损最大,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广,定理3,定理3,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性,2. 设,(A) 不可导 ;,(B) 可导, 且,(C) 取得极大值 ;,(D) 取得极小值 .,D,提示: 利用极限的保号性 .,
