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1、详解竞赛中数字问题(3) 作者： 日期：详解竞赛中数字问题（3）特级教师 吴迺华1、有不等式 2，适合这样的条件，括号中可填的自然数一共有多少个？全部符合条件的分母的平均数是多少？解：的分子，185375，根据分子相同，分母小的反而大，可知，凡是5一个数，只要小于1994的都是。如：2。这样的数从19起，到398止，一共有：398191380（个）全部符合条件的分母的平均数是：（19398）2208.52、有分数，约简后分母是几？解：根据此分数的条件，分母66666中，因数2和3各有1003个；分子中因数2的个数多于分母的个数，也多于分子中因数3的个数。分子中，共有因数3的个数是：671223
2、7424821002由此可知，约简后，分母中的因数2全约掉，分子、分母中的因数3相比：100310021，而分子中的因数3比分母中的因数3少1。所以，约简后分母是3.3、把自然数从1起，顺次写下去，12345678910111213，从左往右数，从第几个数字后,开始出现7个“1”连排？解：很明显,写到1111、1112时,出现7个连续的1.因此，写完1110后起将出现七个连排的1.一位数每个数占一个位，共占位：9个两位数每个数占两个位，共占位：902180（个）三位数每个数占三个位，共占位：90032700（个）四位数每个数占四个位，到1110止共占位：（1110999）4444（个）从1起到
3、1110止，共占位918027004443333所以，从第3333个数字后,开始出现7个“1”连排。4、把自然数的立方按从小到大排成182764125216，那么，第182个位置上数字是几？解：先把自然数的立方按数字的多少分类：占一个位置的有： 共占位：122（个）.占两个位置的有： 共占位：224（个）.占三个位置的有： 共占位：3515（个）.占四个位置的有： 共占位：41248（个）.从到共占位：24154869（个） 到第182个位置，还有位置：18269113（个） 接下来是占五个位置的立方数：1135223 由，2122144，可知，在这个立方数的第三个位置上，85184所以, 第
4、182个位置上数字是1.5、一个三位数，如果加上3，所得的新三位数的各位数字之和，就减少到原三位数各位数字和的，所有这样的三位数的和是多少？解：设原三位数为，其中9, 根据题意，只考虑个位向十位进位，得方程：（1）（310）（）解得：8，此时，原三位数可能为：107如果考虑到连续进位，得方程：（1）（110）（310）（）解得：20，此时，原三位数可能为：299、398、497所以，所有这样的三位数的和是：10729939849713016、如果一个自然数的各位数字之和是一个完全平方数，这样的自然数就叫做“奇特数”，如：448，448，两位数中，这样的数有多少个？解：数字之和是1的有：10数字
5、之和是4的有：13、22、40、31；数字之和是9的有：18、81、27、72、36、63、45、54、90；数字之和是16的有：79、97、88；所以，在两位数中，这样的数有：149317（个）7、已知两个自然数的平方和为1044，它们的最大公约数与最小公倍数的和是66，求这两个自然数。解：两个数的最小公倍数，是这两个数的最大公约数与短除法上的商的积。设这两个数的最大公约数为x，短除法上的商的积为y，则这两个数的最小公倍数为xy。根据题意，xxyx（1y）66而，666116（110）因此，这两个数的最大公约数为6，短除法上的商的积为10. 而，1025所以，这两个数.分别为：12和30，刚
6、好满足10448、已知两个自然数的平方和是900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积是432，求这两个自然数。解：同样，两个数的最小公倍数，是这两个数的最大公约数与短除法上的商的积。设这两个数的最大公约数为x，短除法上的商的积为y（两个互质数的积），则这两个数的最小公倍数为xy。根据题意，xxyy432222233312123661244273348根据12123，最大公约数为12，最小公倍数36，则这两个自然数分别为12和36根据6612，最大公约数为6，最小公倍数72，则这两个自然数分别为18和24根据4427，最大公约数为4，最小公倍数108，则这两个自然数分别为4和108根据3348，
7、最大公约数为3，最小公倍数144，则这两个自然数分别为3和144但根据这两个自然数的平方和是900，900所以这两个自然数分别为18和24.9、a、b、c是三个互不相同，且均不为零的数字，用a、b、c组成的所有三位数的和为3552，则这个数最小是几？解：设用a、b、c三个数字组成的所有三位数分别为：，从所组成的六个三位数中，我们可以看出a、b、c这三个数字分别在三位数的百位、十位、个位各出现两次，即a、b、c这三个数字的和与222的乘积即为这六个三位数的和。 3552（abc）222，可知，abc532822224因为a、b、c是三个互不相同，且均不为零的数字，所以，只能为7、8、9。这六个数
8、中最小的是789.10、在一个两位数中间插入一个数字（包括0），所成为的三位数是原来两位数的9倍，满足条件的所有两位数的和是多少？解：根据题意，知，所成的新数与原数的和为原数的1910倍。设原两位数为，插入的数字为B。（10AC）（100A10BC）10（10AC）化简得 5（AB）4C由化简式可知，新三位数的个位数字为5，百位与十位数字的和为4这样的三位数有：135、225、315、405这样的两位数的和是：1525354512011、给一本百科全书编页码，一共用了7985个数码。这本书含有数码“2”的共有多少页？解：只需一个数码的有9页，用数码9个需2个数码的有90页，用数码902180（个）需3个数码的有900页，用数码90032700（个）需4个数码的有（798527001809）41274（页）全书共有：12749009092273（页）除去200个百位为“2”的页面外，四位数中含有数码“2”的有2731274（页）其余的个位和十位含有数码“2”的每100页中有19页，（2000200）10019342（页）所以，这本书含有数码“2”的共有：200274342816（页）
