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1、2020/8/19,1,8-1 位移法求解,第八章 柱体的自由扭转问题,8-2 按应力函数求解,8-3 薄膜比拟,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,8-5 薄壁杆的自由扭转,2020/8/19,2,在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转问题为例来说明空间三维问题的求解过程。（无体力）,对于圆杆扭转：（扭矩Mz =MT）,应力：x=y=z=xy=0 ，,位移分量： u = -Kyz , v =Kxz , w =0 ,K为单位长扭转角。,2020/8/19,3,对于一般等截面杆扭转w 0 称为自由 扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参 考圆杆扭转解进行假设半逆解。,8-1 位移法求解,对于一般等截
2、面杆自由扭转，可设位移分量： u= -Kyz , v= Kxz , （u、v与园杆扭转一致） w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为 扭曲函数。,2020/8/19,4,8-1 位移法求解,无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。 未知量为：K和(x,y)。,（工程）应变分量：,u= -Kyz , v= Kxz , w= K(x,y),2020/8/19,5,8-1 位移法求解,应力分量：x=y=z=xy=0，,所有物理量均由K和(x,y) 表示。,2020/8/19,6,8-1 位移法求解,按位移法求解，基本方程为平衡微分方程（三个）。,或 2 = 0,两个平衡微分方
3、程自然满足，而第三个方程为：,2020/8/19,7,8-1 位移法求解,基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见(x,y)为一个调合函数。,同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应通过边界条件来确定。,扭曲函数(x,y)除了满足 2 = 0,还需要满足边界条件，,2020/8/19,8,8-1 位移法求解,首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界） 在侧边上方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0),面力：,满足,2020/8/19,9,8-1 位移法求解,上式也可以用,边界条件用(x,y)的偏微分表示。,由于,则,代入侧面边界条件,2020/8/19,10,8-1 位移法求解,
4、在扭杆端面（如z = 0): 法线的方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1),杆端截面法线方向面力 ，满足；,合力为零,合力矩为零,而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求,2020/8/19,11,8-1 位移法求解,上式也可以表示为,可以证明当扭曲函数(x,y)在主 要边界上力边界条件满足时，,则 和 自然满足。见以下：,2020/8/19,12,8-1 位移法求解,利用格林公式, 2 = 0,2020/8/19,13,8-1 位移法求解,而第三个方程为：,扭矩MT与K 和(x,y)的关系。,小结：,用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数 (
5、x,y)和单位扭转角K。,2020/8/19,14, 2 = 0 在V上 在杆侧边上,由,求(x,y),8-1 位移法求解,当(x,y)确定后，利用杆端面条件,求K,令,扭转刚度,当(x,y) 和K均找到后，则扭杆的位移、 应力均可求出。,2020/8/19,15,作业：,证明扭曲函数 能用来求椭圆截 面杆 的扭转问题，其中a和 b 为 椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为,2020/8/19,16,8-2 按应力函数求解,按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程 2 = 0,其边界条件 ( (x,y) 的微分形式）但能满足边界条件调合函数 (x,y) 是不易找到的。下面讨论按应力法求解等截面杆扭
6、转问题基本方程以及应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。,2020/8/19,17,8-2 按应力函数求解,2.1 按应力法求解方程,同圆杆扭转类似，设 x=y=z=xy=0,仅存在 zx(x,y)=xz 和 zy(x,y)=yz,两个应力分量，将应力分量代入应力法的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）,2020/8/19,18,8-2 按应力函数求解,三个平衡方程：,前两式自然满足，剩下一个控制方程,无体力相容方程为：,由于设 x=y=z=0， = 0,2020/8/19,19,8-2 按应力函数求解,则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个 控制方程,2zx =0 和 2zy =0,按应力
7、法求解 基本方程为三个,2zx =0 2zy =0,2020/8/19,20,8-2 按应力函数求解,边界条件： 在侧边：方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0),面力： ；前两个方程满足；,第三个力边界条件：lzx+mzy = 0,在端面：方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1),面力： 满足。,2020/8/19,21,8-2 按应力函数求解,在 x,y 方向面力应用圣维南原理,2020/8/19,22,8-2 按应力函数求解,2.2 按应力函数(x,y)求解,设应力分量与应力函数的关系为,则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自 然满足。,2020/8/19,23,8-2 按应力函数求
8、解,常数C是什么？C 和位移法公式中的系数有什么关系?,将上式代入应力法的其它两个基本方程，得,2 = C（泊松方程）,由应力函数法和位移法可知,2020/8/19,24,8-2 按应力函数求解,将应力函数代入杆侧边的边界条件 lzx+mzy = 0,2020/8/19,25,8-2 按应力函数求解,而,代入边界条件，得,则应力函数在扭杆侧边应该为常数 : s =C1,lzx+mzy = 0,2020/8/19,26,8-2 按应力函数求解,对于单连域：可取 s = 0,对于复连域：可取一条边界线 上s为零，而其它边界s为非 零常数：,s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3,再将(
9、x,y)代入端面上的边界条件： 方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)， 面力： 满足。,2020/8/19,27,8-2 按应力函数求解,在x,y方向面力应用圣维南原理,第一、二方程恒满足。,第一个方程,第二个方程,2020/8/19,28,8-2 按应力函数求解,在x,y方向面力应用圣维南原理,第三个方程,2020/8/19,29,8-2 按应力函数求解,当为单连域时：在s上 s = 0,当为多连域时：,s0 = 0, si =Ci 0, i=1,2,3,2020/8/19,30,8-2 按应力函数求解,(Ai为si围成的面积。),2020/8/19,31,8-2 按应力函数求解,总结
10、：,按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C，,且(x,y)与MT 之间满足,（单连域）,（多连域）,2020/8/19,32,8-2 按应力函数求解,在柱体侧边 s = 0 （单连域） si =Ci （多连域） 当 K 和 (x,y) 由上述方程确定后，可求出zx、zy以及应变和位移。,2020/8/19,33,8-3 薄膜比拟,对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位移法还是应力法求解扭转问题解答（解析解）是很困难的，而普朗特（Prondtl）在1903年提出了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似性，用薄膜来比拟扭杆，它
11、可以帮助我们寻找扭转问题的解答,尤其是对截面较复杂的扭转可以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实验测定，形象的获得一些有价值的解。,2020/8/19,34,8-3 薄膜比拟,一均匀薄膜形状同扭杆 截面，周边固定，并使薄膜 受均匀微小压力q作用，薄膜 将微微凸起，而形成曲面 z=z(x,y)， 薄膜仅承受张力（拉力）T。,下面来寻求薄膜垂度z=z(x,y) 所应满足的方程和边界条件。,2020/8/19,35,8-3 薄膜比拟,寻求z=z(x,y)应满足的 方程，即求解方程是由薄 膜微元dxdy的z方向的平衡 条件来确定(Fz = 0)。,2020/8/19,36,8-3 薄膜比拟,整理后，
12、得,或, z(x,y) 所应满足的方程。,2020/8/19,37,8-3 薄膜比拟,与扭转问题应力函数(x,y)所应满足方程和 边界条件相比（2 =-2KG ，s = 0 ）， 与z之间存在比拟关系:,薄膜垂度z=z(x,y) 所应满 足的边界条件：,zs= 0（单连域）。,2020/8/19,38,8-3 薄膜比拟,薄膜垂度z(x,y)可由实验测定，再根据上再 根据上式可确定 的分布规律。在应力函 数解扭转问题时，考虑边界条件还有,由此式确定比例系数,（单连域）,扭矩MT与薄膜垂度所围成体积的两倍之间 也同样存在一致的比拟关系。,2020/8/19,39,8-3 薄膜比拟,对于多连域， 在
13、孔边上应为常数，所以在 薄膜比拟试验中，开孔区应用平行于x- y平 面的无重刚性平板来代替。,扭杆剪应力：,剪应力分量的大小与该薄膜垂度上对应点沿垂直方向的斜率成正比,2020/8/19,40,8-3 薄膜比拟,扭转截面上任意点总剪应力（应力矢量t） 数值和方向确定:,任意点总剪应力数值,可利用薄膜等高线，平行于x- y面的平面与薄 膜相截可获得一系列闭合曲线薄膜等高线。,2020/8/19,41,8-3 薄膜比拟,在等高线上任意点应力可沿 x,y方向分解，也可沿n,s方 向分解。根据剪应力分量与 薄膜垂度沿垂直方向斜率成比例:,在等高线上 ,所以在等高线上,2020/8/19,42,8-3
14、薄膜比拟,任意点总剪力,（等高线切方向）与垂度等高线的垂直方向斜 率成正比。薄膜等高线为扭杆横截面上的剪 应力线。,发生在薄膜具有最陡斜率的点处，一般在杆 边界上。,截面上的最大剪应力,2020/8/19,43,8-3 薄膜比拟,总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系,2020/8/19,44,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,采用应力函数解法求扭转问题,应力函数(x,y) 在域内满足方程 2 =-2KG （1）,例题1. 椭圆截面杆的扭转。,在边界上满足方程 s = 0 （2） 以及 （3）,2020/8/19,45,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,由于椭圆杆截面方程为,因此，可设应力函数
15、(x,y) 为,则(x,y)自然满足方程 s = 0。,2020/8/19,46,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,代回 (x,y),再代回（3）式,注意,，,，,将(x,y)代入基本方程 2 =-2KG ， 得,2020/8/19,47,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,再代回（3）式,注意,得,2020/8/19,48,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,应力分量,各点总剪应力：,最大剪应力在柱截面边界上（ ）：,设a b，当 y=b 时 为最大。,2020/8/19,49,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,应变: x=y=z=xy=0，,位移：当不考虑刚体位移时,椭圆杆扭转时，杆纵
16、向发生位移。,2020/8/19,50,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,例题2. 等边三角形截面（高为a）受扭矩Mz 作用，求截面剪应力。,x-a=0,解：对于单连域，应力函数 s = 0，考虑此原因，设 时同椭圆杆扭转一样，取 三角形截面杆的边界方程为 的因子。,2020/8/19,51,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,设,则 (x,y)自然满足方程 s = 0。,2 =-2KG 得 4ma=-2KG,将(x,y)代入基本方程,2020/8/19,52,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,利用,或,得 ，则,2020/8/19,53,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,应力分量为,截面上最大剪应力：,2020/8/19,54,8-4 等截面杆扭转按应力函数举例,例题3. 矩形截面杆的扭转。,矩形截面 (ab) 受扭矩 Mz作用，应力函数中要求 s = 0,如果假设应力函数为,满足 s = 0，但 2 =-2
