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1、,第三章,函数的单调性与,第四节,一、函数单调性的判定法,二、曲线的凹凸性与拐点,曲线的凹凸性,一、 函数单调性的判定法,若,设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,不妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,定理1.,证:,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例1.,确定函数,1) 单调区间的分界点除驻点外,例如,2) 驻点不一定是单调区间的分界点.,例如,x=0是分界点,x=0是驻点,说明:,也可是导数不存在的点.,但该点处导数不存在.,但不是单调区间的分界点.,3),一般来说,就能保证函数 f (x)
2、 在每个部分区间上单调.,用驻点和导数不存在的点划分定义区间,的单调区间.,解:,得驻点,导数不存在的点,不存在,不存在,例2.,确定函数,故,的单调增区间为,的单调减区间为,令,则,解:,当,时，,例3.,证明,上,的大小顺序是 ( ),利用,单调增加 ,及,B,例4.,设在,提示:,设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称 f (x)的,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称f (x)的,图形是凸的 .,二、曲线的凹凸性与拐点,凹凸分界点称为拐点 .,拐点,1.定义:,2. 定理2. (凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则
3、 f (x) 在 I 内图形是凸的 .,几何说明：,的图形是凹的,的图形是凸的,注:, 二阶导数为0的点不一定是拐点;,曲线,但曲线,在,上是凹的., 拐点的可疑点:,在的点.,二阶导数为0的点和二阶导数不存,例如,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,例5.,求曲线,的单调区间、凹凸区间及,1) 求,2) 求极值点及拐点的可疑点,令,得,极值点、拐点.,令,得,例6.,求曲线,解:,3) 列表判别,凹,凸,凹,凹,故,的单调增区间为,的单调减区间为,的凹区间为,凸区间为,极小值点,拐点,拐点,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,
