《8.7.1 三定问题(第一课时)试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.7.1 三定问题(第一课时)试题（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7.1 三定问题（第一课时）考向一 定点【例1-1】（2020安徽高三期末（文）已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以，因为动圆P与圆N内切，所以，则，由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，设椭圆方程为，则，故，所以曲线C的方程为.（2）当直线l斜率存在时，设直线，联立，得，设点，则，所以，即，得.则，因为，所以
2、.即，直线，所以直线l过定点.当直线l斜率不存在时，设直线，且，则点，解得，所以直线也过定点.综上所述，直线l过定点.【例1-2】（2020河南）设椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若椭圆C的离心率为，的周长为8.（）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆C交于两点，是否存在实数k使得以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）（）存在，【解析】（I）由题意知，所以所求椭圆的标准方程是.（II）假设存在这样的实数使得以为直径的圆恰好经过原点.设，联立方程组，消去得，由题意知，是此方程的两个实数解，所以，解得或，所以.又因为以为直径的圆过原点，所以
3、，所以，而， ，即，解得.故存在这样的直线使得以为直径的圆过原点.【举一反三】1（2020江西南昌二中）在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，直线与的斜率之积为.（I）求动点轨迹的方程;（II）过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）直线过定点.【解析】解一：（1）由题知：2分化简得：4分（2）设，:，代入整理得6分，8分的方程为令，得10分直线过定点.12分解二：设，:，代入整理得6分,，8分的方程为令，得10分直线过定点.12分解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上，设，:，代入整理得6分,，8分设过定点，则，而则10分直线过
4、定点.12分2（2020江苏高三专题）如图,已知椭圆的上顶点为,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).当变化时,试问直线是否过某个定点若是,求出该定点;若不是,请说明理由.【答案】(1) (2) 过定点【解析】(1) 椭圆的上顶点为,离心率为 可得 解得椭圆的方程为. (2)设切线方程为,则 即 设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得: 由 消掉得:设 同理可得 直线BD方程为令,得, 故直线过定点.考向二 定值【例2】（2020全国高三专题）如图，椭圆：的离心率是，点在短轴上，且（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过
5、点的动直线与椭圆交于,两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）由题得,因为点的坐标为,则,因为,所以,所以,解得,所以椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时,设直线的方程为,为,为,联立得,则,所以,所以,所以 ,所以,当时,则为定值,当直线斜率不存在时,直线即为直线,此时,故存在常数,综上可知,存在常数,使得为定值【举一反三】1（2020北京高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆方程；（）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.
6、求证：，两点的纵坐标之积为定值.【答案】（）；（）详见解析.【解析】（）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，所以半径等于原点到直线的距离，即.由离心率，可知，且，得.故椭圆的方程为. （）由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在，则直线方程为，所以.则直线的方程为，直线的方程为.令，得，.所以两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在，设直线的方程为,由得，依题意恒成立.设， 则. 设，由题意三点共线可知，所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.所以综上，两点的纵坐标之积为定值.1.（2020全国高三专题）如图，已知椭圆C：y21（a1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2y2
7、6x2y70相切（1）求椭圆C的方程；（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标【答案】（1）y21（2）证明见解析，定点N.【解析】（1）将圆M的一般方程x2y26x2y70化为标准方程为（x3）2（y1）23，圆M的圆心为M（3,1），半径为r.由A（0,1），F（c,0）（c）得直线AF：y1，即xcyc0.由直线AF与圆M相切得.所以c或c（舍去）所以a，所以椭圆C的方程为y21.（2）证明：由0，知APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0,1）可设直线AP的方程为ykx1，直线AQ的方程为yx1（k0），将ykx1代入椭圆
8、C的方程y21并整理，得（13k2）x26kx0，解得x0或x，因此P的坐标为，即.将上式中的k换成，得Q.所以直线l的方程为y，化简得直线l的方程为yx.因此直线l过定点N.2（2020全国高三专题）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点【答案】（1）y21（2）证明见解析【解析】（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上因此解得，故C的方程为y21.（2）
9、证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，x1x2.而k1k2，由题设k1k21，得（2k1）x1x2（m1）（x1x2）0.即（2k1）（m1）0.解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1（x2），所以l过定点3（2020江西南昌二中高二期末（文）已知点F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，若点P（x0，4）在抛物线C上，且.（1）求抛物线C的方程；（2）动直线l：xmy+1（mR）与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D（t，0）（其中t0），使得
10、kAD+kBD0，（kAD，kBD分别为直线AD，BD的斜率）若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y24x；（2）存在，（1，0）.【解析】（1）由题意得：抛物线的准线方程：，点P（x0，4）在抛物线C上，所以由题意：，解得：p2，所以抛物线C的方程：y24x；（2）由题意得，假设存在D（t，0）使得，设A（x，y），B（x，y），整理得：，由得，时，使得，即D点的坐标：（1，0）4（2020湖南高三期末（理）在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足（1）求点的轨迹方程；（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出
11、的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点符合题意.【解析】（1）设，则，.又，则即因为点N为曲线上的任意一点，所以，所以，整理得，故点C的轨迹方程为.（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，将代入，得.设，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.5（2019江苏）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）点到定点的距离比它到轴的距离大1，点到定点的距
12、离等于它到的距离，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 动点的轨迹的方程为 （2）由题意，直线的方程为，设，由，得， 又线段的中点为，所以，同理，直线的斜率，直线的方程为：，即，直线过定点6（2020全国高三专题）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（0）交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）或（）存在【解析】（）由题设可得，或，.，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）
13、为复合题意得点，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.=.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以符合题意.7（2020内蒙古集宁一中高二期末（理）（题文）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点A1,2为抛物线C上一点.（1）求C的方程； （2）若点B1,-2在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若kBPkBQ=-2，求证:直线PQ过定点.【答案】（1）y2=4x或x2=12y； （2）证明见解析【解析】（1）当焦点在x轴时，设C的方程为x2=2py，代人点A(1,2)得2p=4，即y2=4x.当焦点在y轴时，设C的方程为x2=2py，代人点A(1,2)得2p=12，即x2=12y，综上可知：C的方程为y2=4x或x2=12y.（2）因为点B(1,-2)在C上，所以曲线C的方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x
