《人教A数学选修21同课异构教学课件232双曲线的简单几何性质第1课时探究导学课型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A数学选修21同课异构教学课件232双曲线的简单几何性质第1课时探究导学课型（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记双曲线的有关性质，初步掌握双曲线的性质,【知识链接】 1.反比例函数图象的画法：画y= 的图象时，在第一象限内，向右无 限接近x轴但不能相交，向上无限接近y轴但不能相交. 2.椭圆离心率的求法：求椭圆的离心率，关键是求出a，c，然后求,主题：双曲线的范围、对称性、顶点 【自主认知】 观察图示，探究下面问题.,(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ 提示：有限制，因为 1，即x2a2，所以xa，或x-a. (2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图
2、形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 提示：关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.,(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？为什么？ 提示：不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. (4)双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ 提示：有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.,根据以上探究过程，试着完成下列关于双曲线几何性质的内容： 1.双曲线的简单几何性质,F1(-c,0),F2(c
3、,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,x-a,xa,y-a,ya,坐标轴,原点,A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,(1,+),2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为_.,x2-y2=a2,【合作探究】 1.能不能用a，b表示双曲线的离心率？ 提示：能. 2.双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小? 提示：由于 所以 因此离心率的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线的开口大小.离心率越大,双曲线开口越开阔；离心率越小,双曲线开口越扁狭.,3.如何求双曲线的渐近线？画图时渐近
4、线有何作用？ 提示：可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程；画图时应先画渐近线，再画双曲线，所画图象才能更准确.,4.从离心率 直观上看，随着a与c的变化双曲线的形状如何 变化？ 提示：当 趋于1时，双曲线的开口非常小，此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线； 当 趋于无穷大时，双曲线的开口非常大，此时双曲线的形状接近两条过顶点平行于y轴的直线.,【过关小练】 1.已知双曲线 有相同的渐近线方程，则a的值为( ) A4 B3 C2 D1 【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线为 故a2.,2.双曲线 的实轴长是_、虚轴长是_、顶点坐标是_、焦点坐标是_,【解析】由题
5、意知a23，b24， 所以c2a2b2347， 解得 因此，双曲线的实轴长 虚轴长2b4 顶点坐标为 焦点坐标为 答案：,【归纳总结】 1.双曲线性质与椭圆的区别 (1)双曲线中|x|逐渐增大时，|y|也无限增大，即双曲线是无限延伸的，而椭圆是一条封闭的曲线. (2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点. (3)双曲线的焦点总在实轴上，当实轴长与虚轴长相等时，称为等轴双曲线，椭圆的长轴与短轴不能相等.,2.双曲线的离心率与渐近线的关系 (1)渐近线的斜率 从0开始逐渐增大，离心率 就从1开始逐渐 增大，双曲线从扁平的形状逐渐变陡，即开口变大. (2)已知渐近线方程y=mx(m
6、0)求离心率时，若焦点不确定时， 或 ，离心率有两种可能. (3)已知双曲线离心率e求渐近线方程要注意 及焦点的 位置.,【拓展延伸】共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共 轭双曲线.如互为共轭的一对双曲线方程合起来写为 或 共轭双曲线的性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦 距，四焦点共圆.,类型一：双曲线的范围、对称性、顶点 【典例1】(1)(2014广东高考)若实数k满足0k9,则曲线 与曲线 的( ) A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 (2)双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( ) A B-4 C4 D,
7、【解题指南】(1)先判断两曲线是哪种圆锥曲线,进而求a,b,c,e加以判断. (2)把方程化为标准形式后确定虚轴和实轴.,【解析】(1)选A.因为0k9,所以曲线 与曲线 都表示焦点在x轴上的双曲线,且2525-k,9-k9, 但a2+b2=34-k,故两双曲线的焦距相等. (2)选A.因为mx2y21是双曲线， 所以m0，且其标准方程为 又因为其虚轴长是实轴长的2倍， 所以 即,【规律总结】根据双曲线方程研究其性质的基本思路 (1)将双曲线的方程转化为标准形式. (2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2=a2+b2得到c的值. (3)根据确定的a，b，c的值求双曲
8、线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.,【巩固训练】若双曲线 与圆x2+y2=1没有公共点，求实数k的取值范围 【解题指南】双曲线与圆没有公共点，说明双曲线都在圆外.,【解析】由双曲线方程 可知a2=9k2,b2=4k2.即a=3k. 于是双曲线两个顶点为(3k，0)，(3k，0) 由已知双曲线与圆x2+y2=1没有公共点， 可得3k1,即k 所以k的取值范围是：k 或k,【补偿训练】已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为 23，且经过点 求双曲线方程. 【解析】设双曲线方程为 由题意知 又因为双曲线过点 所以 依题意可得 解得 故所求双曲线方程为,类型二：双曲线的
9、离心率 【典例2】(1)(2014重庆高考)设F1,F2分别为双曲线 (a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1- PF2)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为( ) (2)设双曲线 的半焦距是c，直线l过点P(a，0)和 点Q(0，b)两点若原点到直线l的距离是 则双曲线的离心率为 _.,【解题指南】(1)直接根据双曲线的定义得到关于a，b的等式，进而求出离心率的值. (2)利用点到直线的距离得出a，b，c的关系式，化简可求离心率.,【解析】(1)选D.由双曲线的定义知，(PF1-PF2)2=4a， 又(PF1-PF2)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab, 等号两边
10、同除a2，化简得 解得 或 (舍去) 故离心率,(2)由已知，可得直线l的方程为： 即bx+ay-ab=0.原点到直线 距离为： 即： 所以 而 即： 所以离心率e=2. 答案：2,【规律总结】双曲线的离心率或离心率范围的求法 (1)一是依据条件求出a，c，再计算 二是依据条件建立参数 a，b，c的关系式，如果含有b，一种方法是消去b转化成离心率e的 方程求解，另一种方法是消去c转化成含 的方程，求出 后利用 求离心率 (2)若是求e的取值范围，则要结合已知条件建立关于a,c的不等式， 要特别注意e的限制条件,【巩固训练】(2015湖南高考)设F是双曲线C： 的一个焦 点.若C上存在点P，使线
11、段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离 心率为_. 【解析】根据对称性，不妨设F(c，0)，短轴端点为(0，b)，从而可 知点(-c，2b)在双曲线上，所以 答案：,【补偿训练】已知长方形ABCD中，AB=4，BC=3，则以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为_. 【解析】因为AB=2c=4，所以c=2. 因为AB=4，BC=3，ABC=90，所以AC=5， 所以2a=CA-CB=2，所以a=1，所以e= =2. 答案：2,类型三：双曲线的渐近线 【典例3】(1)(2014山东高考)已知ab0，椭圆C1的方程为 双曲线C2的方程为 C1与C2的离心率之积为 则C2的渐近线方程为(
12、 ) A B Cx2y0 D2xy0,(2)(2014天津高考改编)已知双曲线 的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上，求双曲线的方程.,【解题指南】(1)由离心率可以求得a，b的关系，从而得出渐近线方程. (2)渐近线与直线平行，则两直线斜率相等；焦点在直线上，可以列出a，b，c的方程组.,【解析】(1)选A. 所以 所以 所以双曲线的渐近线方程为 (2)因为双曲线的一个焦点在直线l上， 所以0=-2c+10,即c=5, 又因为渐近线平行于直线l：y=2x+10,故有 结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20, 所以双曲线的标准方程为,【延伸探究】 1.(改
13、变问法)若题(2)中条件不变,求双曲线的离心率. 【解析】因为c=5,a2=5,所以离心率 2.(变换条件，改变问法)求与题(2)中所求的双曲线有相同的渐近线 且过点(2,2)的双曲线方程. 【解析】因为(2)中的双曲线是 故可设双曲线方程为 把点(2,2)代入方程得 所以所求的双曲线 方程为,【规律总结】由渐近线设双曲线方程的方法 (1)渐近线为 的双曲线方程可设为： (2)如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为 A2x2B2y2m(m0)； (3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为,【拓展提升】 1.双曲线草图的画法 画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图 2.共渐近线的双曲线系 方程 称为双曲线 的共渐近线的双曲线系.,【补偿训练】求证：双曲线 (a0，b0)上任意一点到两 条渐近线的距离之积为定值. 【证明】设P(x0，y0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方 程为bxay0和bxay0，可得点P到bxay0的距离 P到bxay0的距离 所以,又P在双曲线上，所以 即b2x02a2y02a2b2，所以 故P到两条渐近线的距离之积为定值.,
