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1、第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 3.1.1空间向量及其加减运算,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记空间向量的概念，初步认识空间向量的加减运算及运算律.,【知识链接】 1.平面向量的概念：既有大小，又有方向的量. 2.平行四边形法则：以同一点O为起点的两个向量a，b为邻边作平行 四边形OBCD，则以O为起点的对角线 =a+b. 3.平面向量的运算律：交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c),主题一：空间向量的基本概念 【自主认知】 1.观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量 它和以前所学的向量有什么不同？,提示： 是不在同一平面内
2、的向量，而以前所学的向量都在同一平面内.,2.在上面三个向量 中，若正方体的棱长为1，单位向量有哪些？ 提示： 的长度都为1，都是单位向量. 3.在上面图中，与 方向相反的向量有哪些？ 提示： 4.与 相等的向量有哪些？ 提示：,根据以上探究，试着完成下列关于空间向量的相关概念问题： 1.空间向量：在空间中，具有_，叫空间向量， _叫做向量的长度或模. 2.相反向量：与向量a_，记作_ 3.相等向量：_的向量. 4.单位向量：_向量.,大小和方向的量,向量的大小,长度相等而方向相反的向量,-a.,方向相同且模相等,模为1的,【合作探究】 1.空间向量与平面向量有无区别？它有什么样的作用？ 提示
3、：空间向量与平面向量没有本质的区别，都表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性.形的特征：方向、长度、夹角等.数的属性：大小、正负可进行运算等.空间向量的数形双重性，使形与数转化得以实现.,2.“空间任何两个向量都是共面的”，这个结论是否正确？ 提示：正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内. 3.两空间向量为什么不能比较大小？ 提示：每个向量都是由大小与方向两个因素构成，其中长度可以比较大小，但方向无法比较大小，所以向量不能比较大小.,【过关小练】 1.给出下列命题： 零向量没有确定的方向. 空间向量是不能平行移动的. 有向线段可用来表示空间向
4、量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大. 如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等. 其中正确的是() A. B. C. D.,【解析】选C.正确.零向量的方向是任意的. 错误.空间向量可以平行移动. 正确.向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大. 错误.如果两个向量不相同，它们的长度可以相等.,2.把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是_. 【解析】在空间中把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是以单位向量的起点为球心，以1为半径的球面. 答案：球面,主题二：向量的加法、减法 【自主认知】 1.类比平面向量的三角形法则
5、与平行四边形法则，思考. 图与图分别是计算两个向量a，b的和，它们使用了加法的哪一种运算法则？,提示：图是向量加法运算的三角形法则，图是向量加法运算的平行四边形法则.,2.如何计算空间两个向量的和与差? 提示：如图，空间中的两个向量a,b相加时， 我们可以先把向量a,b平移到同一个平面 内，以任意点O为起点作 则,3.观察如图两组几何体对应向量的运算，反映的是向量加法的哪一种运算律？ 提示：由图示可知(a+b)+c=a+(b+c)= 故空间向量加法运算的结合律(a+b)+c=a+(b+c)成立.,根据上述探究过程，试着写出空间向量的加减运算及运算律：,b+a,a+(b+c),【合作探究】 1.
6、如图，向量 的相反向量怎样表示？若对式子 两边同加 的相反向量，结果如何？,提示：由相反向量的概念我们知道向量 的相反向量为 即为 对等式 两侧同加上向量 可得 = 即为,2.如何求共线向量相加及共终点向量相加减？ 提示：共线向量：共线向量相加时不能利用平行四边形法则，可利用三角形法则. 共终点向量：共终点的向量相加减，可通过平移两向量使两向量共起点，再选择合适的运算法则进行加减运算.,【拓展延伸】空间向量的多边形法则 (1)首尾相接的若干个空间向量的和：,(2)首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形的向量和：,【过关小练】 1.如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是(
7、) 【解析】选D.,2.在三角形ABC中， =_. 【解析】由向量加法的运算法则知，在 答案：0,【归纳总结】 1.向量的有关概念 (1)两个要素：确定空间向量的两个要素是大小与方向，二者缺一 不可. (2)单位向量：向量a方向上的单位向量可记为 (3)相等向量：只有大小相等，方向相同的向量才是相等向量.,2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性：零向量的方向不确定，是任意的；由于零向量的这一特性，在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性：零向量的长度为零，零向量与零向量相等. (3)规定：零向量与任何向量平行.,3.空间向量与平面向量的加减运算
8、的联系 (1)空间向量是平面向量的推广. (2)空间任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量，即空间任意两个向量都是共面的. (3)平面向量的运算法则同样适用于空间向量.,类型一：空间向量的有关概念 【典例1】(1)给出下列命题： 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； 若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b； 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p； 空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确的命题的个数是() A.1B.2C.3D.4,(2)如图，在以长、宽、高分别为AB=4，AD=2，AA1=1的长
9、方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， 单位向量共有_个. 写出模为 的所有向量_.,【解题指南】(1)依空间向量的概念逐一进行分析. (2)单位向量的模为1.根据长方体的左、右两侧的对角线长均 为 写出相应向量.,【解析】(1)选C. 错误.当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等， 但两个向量相等不一定起点相同，终点相同. 错误.向量相等的定义，模相等而且方向相同. 正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量 方向相同，模也相 等，必有 正确.由向量平行移动的性质可知. 错误.空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故 不一定相等
10、.,(2)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模 均不为1，故单位向量共8个 由于长方体的左、右两侧的对角线长均为 故模为 的向量有 答案：8 ,【规律总结】明确两个关系做概念辨别题 (1)模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. (2)向量的模与向量大小关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的.,【拓展延伸】处理向量概念问题的解题关键及注意点 (1)解题关键：明确向量相关概念的特点. (2)
11、注意点： 向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可. 单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.,【巩固训练】(2014盘锦高二检测)下列命题是真命题的是_. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向 量不是共面向量； 若|a|=|b|，则a,b的长度相等而方向相同或相反； 若向量 满足 且 同向，则 若两个非零向量 满足 则,【解析】由于向量具有平移的性质，故任意的两个向量都是共面向 量，错；|a|=|b|，但向量的方向可以是任意的，所以错；向量 不能比较大小，错；两个非零向量 满足 即 所以 对. 答案：,【补偿训练】给出下列命题： 向量 是
12、共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； 单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等； 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 模为0是一个向量方向不确定的充要条件； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 其中正确的是_(填序号).,【解析】不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同 或相反即可，并不要求两个向量 在同一条直线上.不正确， 单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.不正确，零向量的 相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.不正确，因为 A，B，C，D可能共线.正确.不正确，如图所示， 共线, 虽起点不同，但终点却相同. 答案：,类型二：空间向量的加
13、法与减法 【典例2】如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式： 【解题指南】利用空间几何体中平面图形，借助三角形与平行四边形法则，进行加减运算.,【解析】(1) (2) (3) (4),【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变，将长方体中的体对角线所对应向量 用向量 表示. 【解析】在平行四边形ACC1A1中,由平行四边形法则可得 在平行四边形ABCD中,由平行四边形法则可得 故,2.(变换条件)若本例中，M为A1C1，B1D1的交点，化简 【解析】,【规律总结】化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. (2)
14、多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. (3)“走边路”：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的棱选择途径).,【拓展延伸】 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得准确的结果.,2.向量加减运算的两种特殊情况 (1)不平行时的作图：两个向量不平
15、行时，用图象作出两个向量的和或差；直接用平行四边形法则或用三角形法则即可. (2)a-b表示的是由减向量b的终点指向被减向量a的终点的一条有向线段.,【补偿训练】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简 并在图中标出化简结果的向量,【解析】 如图,类型三：向量加减法则的应用 【典例3】在如图所示的平行六面体中，求证： 【解题指南】根据平行六面体的性质，结合向量的加法运算进行证明.,【证明】因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以 又由于 所以 所以,【规律总结】空间向量加减法则应用的两个技巧 (1)数形结合：构造对应图形，在图形中标出空间各向量，以便灵活应用平行四边形法则或三角形法则. (2)由繁到简：化简多个向量时，观察分析“首尾相接”的向量使之结合，从而化多为少.,【巩固训练】(2015泰安高二检测)如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，画出表示下列向量的有向线段. (1) (2) 【解题指南】利用向量加法法则， 向量相等的概念，先化简再作图.,【解析】(1) 如图中向量 (2)连接GF， 如图中向量AF.,【补偿训练】已知ABCD是空间四边形,M和N分别是对角线AC和BD的 中点. 求证：,【证明】 又 所以 由于M,N分别是AC和BD的中点, 所以 所以,
