《（新教材）高中数学必修第一册第3章 3.1 3.1.1 第一课时 函数的概念（一）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（新教材）高中数学必修第一册第3章 3.1 3.1.1 第一课时 函数的概念（一）（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 函数的概念与性质,数学文化了解数学文化的发展与应用 1.早期函数概念几何观念下的函数 十七世纪伽利略(G.Galileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系. 1673年，德国数学家莱布尼茨首次使用“function”(函数)表示“幂”.,2.十八世纪函数概念代数观念下的函数 1718年约翰贝努利(Bernoulli Johann，瑞，16671748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面
2、变量的函数.”,3.十九世纪函数概念对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.” 1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为yf(x).元素x称为自变元，元素y称为因变元. 19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概念函数.,读图探新发现现象背后的知识,函数的概念(图一)函数的表示(图二),函数的最值(图三)函数的奇偶性(图四),问题1：图一中青少年的
3、好奇心与其年龄，图二中每次人口普查的年份与其对应的总人口数是否存在一一对应的关系呢？如何刻画这些变量间的对应关系呢？ 问题2：“菊花”烟花设计者为了达到施放烟花的最佳效果，制造时应精心设计烟花达到最高点时爆裂，如何确定烟花爆裂的最佳时刻？ 问题3：天安门是轴对称图形，联想一下：如何用自然语言描述函数的图象特征呢？ 链接：图一、图二中存在一一对应关系，这种变量间的对应关系常用函数模型来描述，函数可以用图象法、列表法和解析法来表示；图三、图四可以用函数的最值和奇偶性刻画函数的性质.,3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第一课时函数的概念(一),教材知识探究,问题1时间t和物体下落的距离
4、s有何限制？ 提示0t3，0s44.1. 问题2时间t(0t3)确定后，下落的距离s确定吗？ 提示确定. 问题3下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？ 提示不能.,函数的概念,注意函数概念中的任意性、唯一性,实数集,任意一个数x,唯一,x,微判断 1.函数的定义域和值域一定是无限集合.( ) 提示函数的定义域和值域也可能是有限集，如f(x)1. 2.根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( ) 提示根据函数的定义，对于定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数y与之对应. 3.在函数的定义中，集合B是函数的值域.( ) 提示在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集
5、.,解析只需满足x10，x1. 答案x|x1,答案7,微思考 1.在函数的概念中，如果函数yf(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ 提示确定，一一对应.,2.如果函数yf(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？ 提示不确定，例如函数的定义域为A1，0，1，值域为B0，1，则对应关系f(x)x2或f(x)|x|均可.,函数关系的判断,【例1】(1)设Mx|0 x2，Ny|0y2，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(),题型一,解析(1)错，x2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.对，同时满足任意性与唯一性.错，x2时，对应元素y3N，不满足任意性
6、.错，x1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性. (2)根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确. 答案(1)B(2)D,规律方法1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法,【训练1】(1)若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是(),(2)已知集合M1，1，2，4，N1，2，4，给出下列四个
7、对应关系： yx2，yx1，yx1，y|x|，其中能构成从M到N的函数是() A. B. C. D.,解析(1)A中的定义域不是x|2x2，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是y|0y2，故选B. (2)只有y|x|是符合题意的对应关系，故选D. 答案(1)B(2)D,求函数值,又g(x)x22，g(2)2226. (2)g(3)32211，,题型二,规律方法求函数值的方法及关注点 (1)方法：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则. (2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.,题型三求函数的
8、,定义域,解得x1且x1， 所以这个函数的定义域为x|x1且x1.,解得x1且x1， 即函数定义域为x|x1且x1.,规律方法当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.,解析(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足,(2)自变量x的取值必须满足2x0，即x2， Mx|x2，RMx|x2，故选A. 答案(1)C(2)A,一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、数学运算素养. 2.函数符号“yf(x)”是数学中抽象符号之一，“yf(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象.,二、素养训练 1.下列关于函数yf(x)的说法正确的是() y是x的函数；x是y的函数；对于不同的x，y也不同；f(a)表示xa时，f(x)的函数值是一个常数. A. B. C. D. 解析根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)1. 答案A,答案D,解析A中x0，B中要求x1，D中x0.故选C. 答案C,答案D,5.若Ax|0 x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(),解析A中值域为y|0y2，故错误；C，D中值域为1，2，故错误，故选B. 答案B,
