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1、学 海 无 涯 1 高考文科数学高考文科数学导数导数专题复习专题复习 第第 1 1 讲讲 变化率与导数、导数的计算变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)或y|xx0，即f(x0) 0 lim x f（x0 x）f（x0） x . (2)函数f(x)的导函数f(x) 0 lim x f（xx）f（x） x 为f(x)的导函数. 2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜 率，过点P的切线方程为yy0f(x0)(xx0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的
2、运算法则若f(x)，g(x)存在，则有： 考点一考点一 导数的计算导数的计算 【例【例 1 1】 求下列函数的导数： (1)ye xln x；(2)yx x 21 x 1 x 3； 解 (1)y(e x)ln xex(ln x)exln xex1 x ln x1 x e x.(2)因为 yx 311 x 2， 所以y(x 3)(1) 1 x 23x 22 x 3. 【训练【训练 1 1】 (1) 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于( ) A.e B.1 C.1 D.e 解析 由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)1 x，f(1)
3、2f(1)1，则 f(1)1.答案 B (2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1) 3，则a的值为_. (2)f(x)a ln xx1 x a(1ln x).由于f(1)a(1ln 1)a， 又f(1)3， 所以a3.答案 (2)3 考点二考点二 导数的几何意义导数的几何意义 命题角度一命题角度一 求切线方程求切线方程 【例【例 2 2】 (2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0 时，f(x)e x1x，则曲线 yf(x)在点(1，2)处的 切线方程是_.解析 (1)设x0，则x0 时，f(x)e x1x.因此，
4、当 x0 时，f(x)e x11，f(1)e012.则曲线 yf(x)在点(1， 2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即 2xy0. 答案 2xy0 【训练【训练 2 2】(2017威海质检)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直 学 海 无 涯 2 线l的方程为( )A.xy10 B.xy10 C.xy10 D.xy10 (2) 点 (0 ， 1) 不 在 曲 线f(x) xln x上 ， 设 切 点 为 (x0，y0). 又 f(x) 1 ln x， y0 x0ln x0， y01（1ln x0）x0，解得 x01，y0
5、0.切点为(1，0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为y x1，即xy10.答案 B 命题角度二命题角度二 求切点坐标求切点坐标 【例【例 3 3】 (2017西安调研)设曲线ye x在点(0，1)处的切线与曲线 y1 x(x0)上点 P处的切线垂直，则P的坐 标为_. 解析 由ye x，知曲线 ye x在点(0，1)处的切线斜率 k1e 01.设 P(m，n)，又y1 x(x0)的导数 y 1 x 2，曲线y1 x(x0)在点 P处的切线斜率k21 m 2.依题意k1k21，所以m1，从而n1. 则点P的坐标为(1，1).答案 (1，1) 【训练【训练 3 3】若曲线yxln x上点P处
6、的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是_.解析 (1)由题 意得yln xx1 x1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得me，所以 neln ee，即点P的坐标为(e，e). 答案 (1)(e，e) 命题角度三命题角度三 求与切线有关的参数值求与切线有关的参数值( (或范围或范围) ) 【例【例 4 4】 (2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax 2(a2)x1 相切，则 a _. 解析 由yxln x，得y11 x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为 ky|x12，所以切线方程为y 12(x1)，即y2x1
7、.又该切线与yax 2(a2)x1 相切，消去 y，得ax 2ax20，a0 且 a 2 8a0，解得a8.答案 8 【训练【训练 4 4】1.函数f(x)ln xax的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数a的取值范围是_. 函数f(x)ln xax的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，即f(x)2 在(0，)上有解，而f(x) 1 xa，即 1 xa 在(0，)上有解，a21 x，因为 a0，所以 21 x2，所以 a的取值范围是(，2).答案 (2)(，2) 2.点P是曲线x 2yln x0 上的任意一点，则点 P到直线yx2 的最小距离为( ) A.1 B. 3 2 C. 5
8、2 D. 2 解析 点P是曲线yx 2ln x 上任意一点，当过点P的切线和直线yx2 平行时，点P到直线yx2 的距 离最小，直线yx2 的斜率为 1，令yx 2ln x，得 y2x1 x1，解得 x1 或x1 2(舍去)，故曲线 y 学 海 无 涯 3 x 2ln x上和直线yx2 平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线yx2 的距离等于 2， 点P到直线yx2 的最小距离为 2.答案 D 第第 2 2 讲讲 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 知知 识识 梳梳 理理 函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这
9、个区间内单调递 增；(2)若f(x)1 时，g(x)0. (1)解 由题意得f(x)2ax1 x 2ax 21 x (x0).当a0 时，f(x)0 时， 由f(x)0 有x 1 2a， 当 x 0， 1 2a 时，f(x)0， f(x)单调递增.(2)证明 令s(x)e x1x，则 s(x)e x11.当 x1 时，s(x)0，所以 e x1x，从而 g(x) 1 x 1 e x10. 考点二考点二 求函数的单调区间求函数的单调区间 【例【例 2 2】 (2015重庆卷改编)已知函数f(x)ax 3x2(aR R)在 x4 3处取得极值. (1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)e x，求
10、函数 g(x)的单调减区间. 解 (1)对f(x)求导得f(x)3ax 22x，因为 f(x)在x4 3处取得极值，所以 f 4 3 0，即 3a16 9 学 海 无 涯 4 2 4 3 16a 3 8 30，解得 a1 2. (2)由(1)得g(x) 1 2x 3x2 e x 故g(x) 3 2x 22x e x 1 2x 3x2 e x 1 2x 35 2x 22x e x1 2x(x1)(x4)e x.令 g(x)0，得x(x1)(x4)0.解之得1x0 或x0).则 f(x)x 24x5 4x 2.令f(x)0，解得x 1 或x5.但1(0，)，舍去.当x(0，5)时，f(x)0.f(
11、x)的增区间 为(5，)，减区间为(0，5). 考点三考点三 已知函数的单调性求参数已知函数的单调性求参数 【例【例 3 3】 (2017西安模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)1 2ax 22x(a0). (1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围. 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x， x0.h(x)1 xax2.若函数 h(x)在(0，)上存在单调减区间，则当x0 时， 1 xax21 x 22 x有解.设 G(x)1 x 22 x， 所以只要 aG(x)min.(*)又G(
12、x) 1 x1 2 1， 所以G(x)min 1.所以a1.即实数a的取值范围是(1，). (2)由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，h(x)1 xax20 恒成立，(*)则 a1 x 22 x恒成立，所 以aG(x)max.又G(x) 1 x1 2 1，x1，4因为x1，4，所以1 x 1 4，1 ，所以 G(x)max 7 16(此时 x 4)， 所以a 7 16.当 a 7 16时， h(x)1 x 7 16x2 167x 232x 16x （7x4）（x4） 16x ， x1， 4， h(x) （7x4）（x4） 16x 0，当且仅当x4 时等号成立.(*) h(x)在1，4上
13、为减函数.故实数a的取值范围是 7 16， . 【训练【训练 3 3】 已知函数f(x)x 3ax1. (1)若f(x)在 R R 上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的单调减区间为(1，1)，求a的值. 解 (1)因为f(x)在R R上是增函数， 所以f(x)3x 2a0在R R上恒成立， 即a3x2对xR R恒成立.因为3x20， 所以只需a0.又因为a0 时，f(x)3x 20， 当且仅当 x0 时取等号.f(x)x 31 在 R R 上是增函数.所以 学 海 无 涯 5 实数a的取值范围是(，0.(2)f(x)3x 2a.当 a0 时，f(x)0，f(x)在(，)上为增
14、函数， 所以a0 不合题意.当a0 时，令 3x 2a0，得 3a 3 x 3a 3 ，f(x)的单调递减区间为 3a 3 ， 3a 3 ， 依题意， 3a 3 1，即a3. 第第 3 3 讲讲 导数与函数的极值、最值导数与函数的极值、最值 知知 识识 梳梳 理理 1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点:若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，则点a叫做函数 的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点:若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它 在点xb附近其他点的函数
15、值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b 叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值. 2.函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件:如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一 条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 考点一考点一 用导数研究函数的极值用导数研究函数的极值 命题角度一命题角度一 根据函数图象判断极值根据函数图象判断极值 【例【例 1 1】 设函数f(x)在 R R 上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) 解析 由题图可知，当x3，此时f(x)0；当2x1 时，01x3，此时f(x)0；当 1x2 时，11x0，此时f(x)2 时，1x0，由此可以得到函数f(x)在x2 处 取得极大值，在x2 处取得极小值.答案 D 命题角度二命题角度二 求函数的极值求函数的极值 【例【例 2 2
