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1、学 海 无 涯 1 简单的周期问题简单的周期问题 一、填空题一、填空题 1某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 _ 2 1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5 日是星期 _ 3按如图摆法摆 80 个三角形，有 _ 个白色的 4节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一盏白灯 起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯，小明想第 73 盏灯是 _ 灯 5时针现在表示的时间是 14 时正，那么分针旋转 1991 周后，时针表示的时间是 _ 时 6 把自然数1， 2， 3， 4， 5如表依次排列成5列， 那么数“1
2、992”在 _ 列 7把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是 _ 8循环小数与这两个循环小数在小数点后第 _ 位，首次同时出现在该位中的数 字都是 7 9一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有 1991 个数 （1）其中共有 _ 个 1， _ 个 9 _ 个 4； （2）这些数字的总和是 _ 10 所得积末位数是 _ 二、解答题（共二、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 0 分）分） 11紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如 8 9=72，在 9 后面写 2， 9 2=18，在 2 后
3、面写 8，得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？ 121991 个 1990 相乘所得的积与 1990 个 1991 相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？ 13n=，那么 n 的末两位数字是多少？ 14在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米也染一个红点，然后沿 红点处将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍有多少根？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（共一、填空题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 学 海 无 涯 2
4、1 （3 分）某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 二 考点： 日期和时间的推算。1665141 分析： 因为某年二月份有五个星期日，又知 4 7=28，所以这年二月份应为 29 天，而且可知 2 月 1 日和 2 月 29 日均 为星期天所以 3 月 1 日为星期一到六月一日经过了 3 月、4 月、5 月，因为 3 月、5 月又 1 天，4 月有 30 天，所以共有 31+30+31+1=93 天，每个星期有七天，所以 937=132，所以 6 月 1 日是星期二 解答： 解：因为 7 4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29 天，且 2 月 1 日与 2 月 2
5、9 日均为星 期日，3 月 1 日是星期一，所以从这年 3 月 1 日起到这年 6 月 1 日共经过了 31+30+31+1=93（天） 937=132，所以这年 6 月 1 日是星期二 答：这年六月一日是星期二 故答案为：二 点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运 用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整 百数时，只要是 4 的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年 2 （3 分）1989 年 12 月 5 日是星期二，那么再过十年的 12 月 5
6、日是星期 日 考点： 日期和时间的推算。1665141 分析： 先求出这十年有多少天，再求这些天里有多少周，还余几天；再根据余数求出这一天是星期几 解答： 解：这十年中 1992 年、1996 年都是闰年，因此，这十年之中共有 365 10+2=3652（天） ； 3652 7=521（周）5（天） ， 5+2=7，所以再过十年的 12 月 5 日是星期日 故答案为：日 点评： 本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运 用周期性解答在计算天数时，要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整 百数时，只要是 4 的倍数
7、就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400 的倍数才是闰年 3 （3 分）按如图摆法摆 80 个三角形，有 39 个白色的 考点： 简单周期现象中的规律。1665141 分析： 从图中可以看出，三角形按“黑黑白白黑白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为 6，80 6 得出周期 数和余数，一个周期有 3 个白色，加上余数的白色个数，即可得解 解答： 解：806=132， 余数 2 全是黑色，所以，白色的三角形有：13 3=39； 答：有 39 个白色的 故答案为：39 点评： 看出规律，找到周期，是解决这类题的关键 4 （3 分）节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、
8、黄、绿各一盏彩灯也就是说，从第一 盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯，小明想第 73 盏灯是 白 灯 考点： 简单周期现象中的规律。1665141 分析： 每四盏灯为一个周期，白灯、红灯、黄灯、绿灯，以此类推，73 是多少个周期余数是几，排一下就知道 了 学 海 无 涯 3 解答： 解：734=181， 所以是白灯； 答：小明想第 73 盏灯是 白灯 故答案为：白 点评： 此题考查了简单周期现象中的规律 5 （3 分）时针现在表示的时间是 14 时正，那么分针旋转 1991 周后，时针表示的时间是 13 时 考点： 时间与钟面。1665141 分析： 分针旋转一周为 1 小时，旋转
9、 1991 周为 1991 小时；一天 24 小时，1991 24=82（天）23（小时） ，1991 小时共 82 天又 23 小时；现在是 14 时正，经过 82 天仍然是 14 时正，再过 23 小时，正好是 13 时 解答： 解：1991 24=82 天23 小时，1991 小时共 82 天又 23 小时 14+2324=13 小时， 答：时针表示的时间是 13 时 故答案为：13 点评： 考查了时间与钟面，在圆面上，沿着圆周把 1 到 12 的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针， 就组成了我们天天见到的钟面钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周
10、期现象就是其中的一个重要方面 6 （3 分）把自然数 1，2，3，4，5如表依次排列成 5 列，那么数“1992”在 第三 列 考点： 数表中的规律。1665141 分析： 9 个数一个循环，这 9 个数不变的排列是第一列、第二列、第三列、第四列、第五列、第五列、第四列、第 三列、第二列；那么求出 1992 是多少个循环，得出余数，即可得解 解答： 解：1992 9=2213； 所以，1992 在第三列 故答案为：第三 点评： 此题考查了数表中的规律，认真分析得出结论 7 （3 分）把分数 化成小数后，小数点第 110 位上的数字是 7 考点： 简单周期现象中的规律；循环小数与分数。16651
11、41 分析： 先把 化成小数：0.0.571428571428571428，是一个循环小数，它的循环周期是 6，六个数字依次是：5，7， 1，4，2，8 因为 1106=182，所以第 110 位上的数是一周期的第二个数即 7 解答： 解：因为 =0.571428571428，是个循环小数，它的循环周期是 6，具体地六个数字依次是 5，7，1，4，2， 学 海 无 涯 4 8； 1106=182，所以第 110 个数字是上面列出的六个数中的第 2 个，就是 7 故答案为：7 点评： 做这类题先把分数化为小数， （一般为循环小数） ，周初他的循环周期及循环的数列，求第几位上的数字， 就用这个数字
12、除以循环周期，余几就是一个循环周期的第几个数字 8 （3 分）循环小数与这两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位中的数 字都是 7 考点： 循环小数及其分类；公约数与公倍数问题。1665141 分析： 根据已知条件可知，这两个小数的循环节分别是 7 位数和 5 位数，求出 5 和 7 的最小公倍数即可 解答： 解：因为 0.1992517 的循环节是 7 位数，0.34567 的循环节是 5 位数，又 5 和 7 的最小公倍数是 35，所 以两个循环小数在小数点后第 35 位，首次同时出现在该位上的数字都是 7 故答案为：35 点评： 此题答解答主要根据求两个数的最小公倍数解答
13、 9 （3 分）一串数：1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，1，4，1，9，9，1，4，共有 1991 个数 （1）其中共有 853 个 1， 570 个 9 568 个 4； （2）这些数字的总和是 8255 考点： 数字串问题；数字和问题。1665141 分析： 不难看出，这串数每 7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环，即周期为 7，且每个周期中有 3 个 1，2 个 9， 2 个 4 因为 19917=2843， 所以这串数中有 284 个周期， 加上第 285 个周期中的前三个数 1， 9， 9 其 中 1 的个数是：3 284+1=853（个） ，9 的个数
14、是 2 284+2=570（个） ，4 的个数是 2 284=568（个） 这些数 字的总和为 1 853+9 570+4 568=8255 解答： 解： （1）这串数每 7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环，且每个周期中有 3 个 1，2 个 9，2 个 4因 为 19917=2843，所以这串数中有 284 个周期，加上第 285 个周期中的前三个数 1，9，9其中 1 的个数 是：3 284+1=853（个） ，9 的个数是 2 284+2=570（个） ，4 的个数是 2 284=568（个） （2）这些数字的总和为：1 853+9 570+4 568=8255 故答案为
15、：853，570，568；8255 点评： 在做题时应首先观察规律：7 个数即 1，9，9，1，4，1，4 为一个循环 10 （3 分） 所得积末位数是 9 考点： 乘积的个位数。1665141 分析： 当 7 的个数是 1 时，末位是 7；当 7 的个数是 2 时，末位是 9；当 7 的个数是 3 时，末位是 3；当 7 的个数 是 4 时，末位是 1；当 7 的个数是 5 时，末位又是 7；由此发现积的末尾依次出现 7、9、3、1；依此规律解 答即可 解答： 解：先找出积的末位数的变化规律： 71末位数为 7，72末位数为 9，73末位数为 3，74末位数 1；75=74+1末位数为 7，
16、76=74+2末位数为 9，77=74+3 末位数为 3，78=74 2末位数为 1； 由此可见，积的末位依次为 7，9，3，1，7，9，3，1，以 4 为周期循环出现 因为 504=122，即 750=74 12+2，所以 750与 72末位数相同，也就是积的末位数是 9 故答案为：9 学 海 无 涯 5 点评： 此题考查的目的是：通过计算发现规律，依照规律解答这类问题 二、解答题（共二、解答题（共 4 小题，满分小题，满分 0 分）分） 11紧接着 1989 后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数例如 8 9=72，在 9 后面写 2， 9 2=18，在 2 后面写 8，得到一串数字：1
