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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 第三讲等积变形 1. 等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12 :SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形，如图 ACDBCD SS ； 反之，如果 ACDBCD SS ，则可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比 2. 鸟
2、头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 如图在ABC中， ,D E 分别是,AB AC 上的点如图( 或D在BA的延长线上，E在AC上 ) ， 则:() : () ABCADE SSABACADAE 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 3. 蝶形定理 任意四边形中的比例关系( “蝶形定理” ) ： 1243:SSSS或者1324SSSS1243:AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型， 一方面可 以使不规则四边形的面积
3、关系与四边形内的三角形相联系；另一方面， 也可以得到与面积对 应的对角线的比例关系 梯形中比例关系( “梯形蝶形定理”) ： 22 13 :SSab 22 1324:SSSSabab ab ； S的对应份数为 2 ab 4. 相似模型 ( 一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型 S4 S3 S2 S1 O D CB A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 ADAEDEAF ABACBCAG ； 22 : ADEABC SSAFAG ： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样 改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质
4、及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 5. 共边定理（燕尾模型和风筝模型） 共边定理：若直线AO和 BC相交于 D（有四种情形） ，则有: ABOACO SSBD DC 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么: ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一
5、个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子 的尾巴， 所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的 特殊性在于， 它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提 供互相联系的途径. G F E A BC D A BC DEF G O F E D CB A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。 2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。 例 1：如图，正方形ABCD的边长为6，AE1. 5，CF2长方形EFGH的面积为 分析： 连接DE
6、 ，DF ，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， 661.5622624.54216.5 DEF S, 所以长方形EFGH面积为 33 例 2：长方形ABCD的面积为36 2 cm ，E、F、G为各边中点， H为AD边上任意一点， 问阴影部分面积是多少？ 分析： 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图： H G F E D C B A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 可得： 1 2 EHBAHB SS、 1 2 FHBCHB SS、 1 2 DHGDHC SS， 而36 ABCDA
7、HBCHBCHD SSSS 即 11 ()3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS； 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 ， 11111 ()()364.5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是：18184.513.5 EBF SS 阴影 解法二：特殊点法找H 的特殊点，把H 点与 D 点重合， 那么图形就可变成右图： 这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有： 5.13 36 2 1 2 1 36 2 1 2 1 2 1 36 2 1 2 1 36 CFDAEDABCD SSSS阴影 例 3：如图所示，长方形AB
8、CD内的阴影部分的面积之和为70，8AB，15AD，四边形 EFGO的面积为 分析：利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和， 以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积 由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为 1 12030 4 ，所以三角 H G F E D C B A G A B C D E F (H) O G F E D CB A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 形AOE和DOG的面积之和为 3 1207020 4 ； 又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和
9、为 11 12030 24 ，所以四边形EFGO 的面积为302010 另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形 BFD面积 白色部 分的面积， 而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的 面 积 等 于 长 方 形 面 积 减 去 阴 影 部 分 的 面 积 ， 即1207050， 所 以 四 边 形 的 面 积 为 605010 例 4：已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、 丙面积和为143，求阴影五边形的面积( 丙是三角形HBC) 分析： 因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以DE、
10、DF、EF是三角形ABC的中位线， 也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形 ABC的一半，即为200 根据图形的容斥关系，有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙， 即400 200200 AMHN SS 丙 ，所以AMHNSS丙 又 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 ，所以 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 例 5：如图，已知5CD，7DE，15EF，6FG，线段AB将图形分成两部分，左边 部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 分析： 连接AF，BD 根据题意可知，571527CF；7156
11、28DG； 所以， 15 27 BECBFF SS ， 12 27 BECBFC SS ， 21 28 AEGADG SS ， 7 28 AEDADG SS ， 于是： 2115 65 2827 ADGCBF SS； 712 38 2827 ADGCBF SS； 丙 乙 甲 H N M JIF E D CB A G FEDC B A A B CDEF G 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 可得40 ADG S故三角形ADG的面积是 40 例 6：如图在ABC中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB，:4:7AE AC， 16 ADES 平
12、方厘米，求ABC的面积 分析： 连接BE，:2:5(24):(54) ADEABE SSAD AB ， :4:7(45):(75) ABEABCSSAE AC ， 所 以:(24):(75) ADEABCSS ， 设 8 ADE S 份，则35 ABC S 份，16 ADE S 平方厘米，所以1份是 2平方厘米，35份就是70 平方厘米，ABC的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角 三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 例 7：如图在ABC中， D 在BA的延长线上，E 在AC上，且:5: 2AB AD， :3: 2AE EC，12 ADE S
13、 平方厘米，求ABC的面积 分析： 连接BE，:2:5(23):(5 3) ADEABE SSAD AB :3: (32)(35) : (32)5 ABEABC SSAEAC ， 所以:(32) : 5(32)6:25 ADEABC SS ，设6 ADE S份，则25 ABC S份，12 ADE S 平方厘米， 所以1份是 2 平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面积是50平方厘米 由 此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 例 8：如图，平行四边形ABCD，BE AB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四 边形AB
14、CD的面积是 2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比 E D C B A E D CB A E D CB A E D CB A H G A B C D E F H G A B C D E F 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 分析： 连接AC、BD根据共角定理 在ABC和BFE中，ABC与FBE互补， 1 11 133 ABC FBE SAB BC SBE BF 又1 ABC S ，所以3 FBE S 同理可得8 GCFS ，15 DHGS ，8 AEHS 所以8815+3+236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21
15、 3618 ABCD EFGH S S 例 9：如图所示的四边形的面积等于多少？ 分析： 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转， 使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三 角形OCD的位置 . 这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为 12的正方形，且这个正 方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为 12 12144.( 也可以用勾股定理 ) 例 10：如图所示，ABC中，90ABC，3AB，5BC，以AC为一边向ABC外作 正方形ACDE，中心为O，求OBC
16、的面积 分析： 如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置 由于90ABC，90AOC，所以180OABOCB而OCFOAB， 所以180OCFOCB，那么 B 、C、 F 三点在一条直线上 由于OBOF，90BOFAOC， 所以BOF是等腰直角三角形， 且斜边BF为538， 所以它的面积为 21 816 4 根据面积比例模型，OBC的面积为 5 1610 8 O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 A 1. 如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的 宽为几厘米？ 答案； 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以 看作特殊的平行四边形) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接
