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1、借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分 析，不妨先明确以下几个问题：1 数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表示的数。2 .点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动 后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为 a b ;向右运动b个单位后所表示的数为 a+b。3 .数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运
2、动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。例1 .已知数轴上有 A、B、C三点，分别代表 一24 , 10 , 10，两只电子蚂蚁甲、乙分 别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。问多少秒后，甲到 A、B、C的距离和为40个单位？若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、 乙在数轴上的哪个点相遇？在的条件下，当甲到 A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还 能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。分析：如图1，易求得 AB=14 , BC=20 , AC=34甲乙AC-! 1JBL
3、L-24-10010设x秒后，甲到 A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为 一24+4x 。 甲在AB之间时，甲到 A、B的距离和为 AB=14甲到C的距离为10 ( 24+4x ) =34 4x依题意，14+( 34 4x ) =40，解得 x=2 甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20 ，甲到A的距离为4x依题意，20+4x ) =40，解得x=5即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。是一个相向而行的相遇问题。设运动 t秒相遇。依题意有，4t+6t=34 ，解得t=3.4相遇点表示的数为 一24+4X 3.4= 10.4 (或：10 6X 3.4= 10.4
4、)甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：一24+4X 2 4y ;乙表示的数为：10 6X 2 6y依题意有，一24+4X 2 4y=10 6X 2 6y，解得 y=7相遇点表示的数为：一24+4X 2 4y= 44 (或：10 6X 2 6y= 44 )甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为：一24+4X 5 4y ;乙表示的数为：10 6X 5 6y依题意有，一24+4X 5 4y=1
5、0 6X 5 6y，解得y= 8 (不合题意，舍去)即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为一44。点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数， 以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数； 向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。例2 .如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20 , B点对应的数为100。AB-20100求AB中点M对应的数；现有一只电子蚂蚁 P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动， 同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴
6、上的 C点相遇， 求C点对应的数；若当电子蚂蚁 P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。分析：设AB中点M对应的数为x，由BM=MA所以x ( 20 ) =100 x，解得x=40 即AB中点M对应的数为 40易知数轴上两点 AB距离，AB=140 ，设PQ相向而行t秒在C点相遇，依题意有，4t+6t=120 ，解得t=12(或由P、Q运动到C所表示的数相同，得 一20+4t=100 6t , t=12 )相遇C点表示的数为： 一20+4t=28 (或100 6t=28
7、 )设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100 6y ,Q表示的数为一20 4y。 P、Q为同向而行的追及问题。依题意有，6y 4y=120 ，解得y=60(或由P、Q运动到C所表示的数相同，得 一20 4y=100 6y , y=60 )D 点表示的数为：一20 4y= 260 (或 100 6y= 260 )点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。是一 个相向而行的相遇问题；是一个同向而行的追及问题。在、中求出相遇或追及的时间例3 .已知数轴上两点 A、B对应的数分别为 一1 , 3，点P为数轴上一动点，其对应的数 为x。若点P到点A、点B的距离
8、相等，求点 P对应的数；数轴上是否存在点 P,使点P到点A、点B的距离之和为5?若存在，请求出 x的值。 若不存在，请说明理由？当点P以每分钟一个单位长度的速度从0点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B 一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？分析：如图，若点 P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA 。AB*14-103依题意，3 x=x ( 1 )，解得x=1由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段 AB上，只能在A 点左侧，或B点右侧。 P 在点 A 左侧，PA= 1 x，PB=3 x依题意，(
9、一1 x)+ ( 3 x)=5，解得 x= 1.5 P 在点 B 右侧，PA=x ( 1 ) =x+1, PB=x 3依题意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5点P、点A、点B同时向左运动，点 B的运动速度最快，点 P的运动速度最慢。故 P点 总位于A点右侧，B可能追上并超过 A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。设运动t分钟，此时P对应的数为 一t, B对应的数为3 20t , A对应的数为 一1 5t。 B未追上A时，PA=PA，贝U P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。PA= t ( 1 5t ) =1+4t, PB=3 20t ( t) =3 19t依题意
10、有，1+4t=3 19t，解得t= B追上A时，A、B重合，此时 PA=PB。A、B表示同一个数。依题意有，一1 5t=3 20t，解得 t= 124即运动I匚或匕 分钟时，P到A、B的距离相等。点评：中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。例4 点A1、A2、A3、An(n为正整数)都在数轴上，点A1在原点0的左边，且A2=1 , 点A2在点A1的右边，且 A2A1 =2，点A3在点A2的左边，且 A3A2=3，点A4在点A3的右 边，且A4A3=4 ,，依照上述规律点 A2008、A2009所表示的数分别为()。A 2
11、008 , 2009 B 2008 , 2009 C 1004 , 1005 D 1004 , 1004 分析:如图，A3 Ai o As a4点A1表示的数为一1 ;点A2表示的数为 一1+2=1;点A3表示的数为一1+2 3= 2 ;点A4表示的数为 一1+2 3+4=2点 A2008 表示的数为 一1+2 3+4 2007+2008=1004点 A2009 表示的数为 一1+2 3+4 2007+2008 2009=1005点评：数轴上一个点表示的数为a,向左运动b个单位后表示的数为 a b;向右运动b个单位后所表示的数为 a+b。运用这一特征探究变化规律时，要注意在循环往返运动过程中
12、的方向变化。练习题：1 .已知数轴上 A、B两点对应数分别为 一2 , 4 , P为数轴上一动点，对应数为x。若P为线段AB的三等分点，求 P点对应的数。数轴上是否存在 P点，使P点到A、B距离和为10 ?若存在，求出x的值；若不存在， 请说明理由。若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时 P为AB的中点？（参考答案：0或2 ;一4或6 :2 ）2 电子跳蚤落在数轴上的某点 K0,第一步从K0向左跳一个单位到 K1，第二步由K1向右 跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到 心 按以上规律跳了 100步时，电子跳蚤落在数轴上的 K100所表示的数恰是19.94。试求电子 跳蚤的初始位置K0点表示的数。（提示：设K0点表示的数为x，用含x的式子表示出K100所表示的数，建立方程，求得x= 30.06 ）
