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1、八年级数学上 新课标 冀教,第十七章特殊三角形,17.2直角三角形,思考: 什么样的三角形是直角三角形?,有一个角是直角的三角形是直角三角形.,那么这个特殊的三角形有哪些性质呢?我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢?,(1)观察图中的三角形,C=90, 从A+B的度数,能说明什么?为什么?,学 习 新 知,直角三角形的两个锐角互余.(性质定理1),(2)想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?,如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(判定定理),(3)讨论:直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系?,对应练习,(1)在直角三角形中,有一个锐角为
2、52,那么另一个锐角度数为.,(3)如图所示,在 ABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的高,与B互余的角有 ; 与A互余的角有 ; 与A相等的角有 ; 与B相等的角有 .,(2)在Rt ABC中,C=90,A-B=30,那么A=,B=.,38,60 ,30 ,A, DCB,ACD, B,DCB,ACD,想一想: 如果在练习(3)中添加A=45的条件,那么各个锐角是多少度?各条线段之间有什么数量关系? 猜一猜,量一量:直角三角形斜边上的中线等于斜边一半吗?,(1)在一张半透明的纸上画出一个直角三角形,按照教材第147页“观察与思考”进行操作.,(2)思考:ECF与B有什么关系?线段EC与线段
3、EB有什么关系?,(3)由发现的上述关系以及A+B=ACB, ACE+ECF=ACB.你能判断ACE与A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?从而你发现了什么结论?将你的结论与大家交流.,CE=AE=EB,即CE是AB的中线,且2CE=AB.,已知:如图所示,在Rt ABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线.求证:CD= AB., A= FDB, AD=BD, ADE= B,证明:如图所示,过点D作DEBC,交AC于点E,作DFAC,交BC于点F.,在 AED和 DFB中, AED DFB(ASA),AE=DF,ED=FB( ),全等三角形的对应边相等,同理可证 CDE DCF.,从而ED
4、=FC,EC=FD( ).,全等三角形的对应边相等,AE=CE,FC=FB( ).,等量代换,又DEAC,DFBC( ),两直线平行,同位角相等,DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线.,AD=CD=BD( ),线段垂直平分线的性质定理,CD= AB.,归纳：,性质定理2: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,课堂小结,1.直角三角形的性质定理1 根据三角形内角和等于180,我们可以得到直角三角形中的两个锐角的和是90,即直角三角形的两个锐角互余.这样,在直角三角形中,如果已知一个锐角的度数,就可以求出另一锐角的度数.,2.直角三角形的判定定理 如果一个三角形中的两个角互余,那么这
5、个三角形是直角三角形. 要判定一个三角形是直角三角形,只要能证明出一个三角形中有两个角的和是90,那么这个三角形就是直角三角形.,课堂小结,3.直角三角形的性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意:这一性质成立的条件是在直角三角形中,并且是斜边上的中线,直角边上的中线不具备这个性质.在解决直角三角形的问题时,如果涉及到斜边上的中点,那么就要联想到这一性质.,4.含有30角的直角三角形的性质 在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半.,检测反馈,1.在 ABC中,满足下列条件: A=60,C=30;A+B=C; ABC =345;A=90-C.其中能确定 ABC是直角三角形
6、的有() A.1个B.2个C.3个D.4个,C,解析:A=60,C=30时,B=180-60-30= 90是直角三角形;A+B=C时, A+B+C=2C=180,C=90,是直角三角形;ABC=345时,C90,是锐角三角形;A=90-C时,A+C=90,B=90,是直角三角形.综上所述,是直角三角形的有,共3个.故选C.,2.设计一张折叠型方桌如图(1)所示,AO=BO=50 cm,CO=DO=30 cm,将桌子放平后,要使AB距离地面的高为40 cm,则两条桌腿需要叉开的角度(AOB)应为() A.60B.90C.120D.150,C,解析:作DEAB于E,如图(2)所示. AD=50+3
7、0=80(cm),DE=40 cm,A=30, AO=BO,B=A=30, AOB=180-30-30=120.故选C.,3.如图所示, ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则 CDE的周长为() A.20 B.12 C.14 D.13,C,解析:AB=AC,AD平分BAC,BC=8, ADBC,CD=BD= BC=4,点E为AC的中点, DE=CE= AC=5, CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C.,4.如图所示, ABC中,ACB=90,CD是 高,A=30BD=5,则AB的长为() A.20 B.15 C.1
8、0 D.18,A,解析:ACB=90,CD是高, A+ACD=ACD+BCD=90,BCD=A=30, 在Rt BCD中,BC=2BD=25=10,在Rt ABC中, AB=2BC=210=20.故选A.,5.如图所示,在直角三角形ABC中,ACB=90,D是AB上一点,且ACD=B.求证CDAB.,解析:根据ACB=90,得出A+B=90 根据ACD=B,得出A+ACD=90,再根据两锐角 互余的三角形是直角三角形即可得出答案.,证明:ACB=90,A+B=90, ACD=B,A+ACD=90, ACD是直角三角形, ADC=90,CDAB.,6.在直角三角形ABC中,ACB=90,B=30
9、,CDAB于D,CE是ACB的平分线. (1)求DCE的度数.,解析:由图知DCE=DCB-ECB,由B=30,CDAB于D, 利用直角三角形的性质定理,求出DCB的度数,再由角平 分线定义得ECB=ACB,则DCE的度数可求;,解:B=30,CDAB于D, DCB=90-B=60. CE平分ACB,ACB=90, ECB= ACB=45, DCE=DCB-ECB=60-45=15.,(2)若CEF=135,求证EFBC.,解析: 根据CEF+ECB=180,由同旁内角互补,两直线平行可以证明EFBC.,证明:CEF=135,ECB= ACB=45, CEF+ECB=180,EFBC.,7.如
10、图所示,在Rt ABC中,ACB=90,B=30,CDAB于D.求证AD= AB.,解析:在直角三角形ABC中,由B=30,利用在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半,得到AC等于AB的一半,由CD垂直于AB,得到 ACD和 BCD都为直角三角形,由B为30,求出ACD为30,再利用在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半得到AD为AC的一半,等量代换即可得证.,证明:在Rt ABC中,ACB=90,B=30, AC= AB, CDAB,CDB=90, 在Rt BCD中,B=30,DCB=60, ACD=ACB-DCB=90-60=30, 在Rt ACD中,AD= AC,AD
11、= AB.,8.如图所示,已知在 ABC中,ACB=90,CD为高,且CD,CE三等分ACB. (1)求B的度数;,解析:利用直角三角形BCD的两个锐角互余进行解答.,解:(1)在 ABC中,ACB=90,CD,CE三等分ACB,ACD=DCE=BCE=30, BCD=60,又CD为高, B=90-60=30.,(2)求证CE是AB边上的中线,且CE= AB.,解析:利用已知条件和(1)中的结论可以得到 ACE是等边三角形和 BCE为等腰三角形,利用等腰三角形的性质证得结论.,证明:(2)由(1)知B=BCE=30,CE=BE,AC= AB. ACB=90,B=30,A=60, 由(1)知ACD=DCE=30,ACE=A=60, ACE是等边三角形,AC=AE=EC= AB, AE=BE,即点E是AB的中点. CE是AB边上的中线,且CE= AB.,
