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1、第四节 数列求和,【知识梳理】 1.等差数列的前n项和公式 2.等比数列的前n项和公式,3.一些常见数列的前n项和公式 (1)1+2+3+4+n=_. (2)1+3+5+7+2n-1=_. (3)2+4+6+8+2n=_. (4)12+22+n2= (5)13+23+n3=(1+2+n)2.,n2,n2+n,4.数列求和方法 (1)公式法求和: 使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法.,(2)裂项相消法求和: 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法.,(3)错位相减法求和: (i)适用的数列:anbn,其中数列an是公差为d
2、的等差数列,bn是公比为q1的等比数列.,(ii)方法:设Sn=a1b1+a2b2+anbn(*), 则qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1(*), (*)-(*)得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1, 就转化为根据公式可求的和. 例如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.,(4)倒序相加法求和: 如果一个数列an与_的两项的和等于首末两项之和,可把正着写与倒着写的两个式子相加,就得到一个常数列的和,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,例如,等差数列的前n项和公式就是用此法推导的.,首末两端等“距离”,(5)分组转化法求和: 若一个数列的
3、通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法求和,分别求和而后相加减.例如,已知an=2n+(2n-1),求其前n项和Sn.,(6)并项转化法求和: 把数列中的若干项结合到一起,形成一个新的可求和的 数列,此时,数列中的项可能_出现或呈现 _.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如:Sn=1002-992+982-972+22-12=(1002-992)+(982- 972)+(22-12)=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.,正、负相间,周期性,【特别提醒】 两种常用求和法的关注点 (1)使用裂项相消法求和时,要注
4、意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点. (2)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修5P47T4改编)数列an的前n项和为Sn, 若an= ,则S5等于(),【解析】选B. 所以S5=a1+a2+a3+a4+a5,2.(必修5P61T4(3)改编)1+2x+3x2+nxn-1= _(x0且x1).,【解析】设Sn=1+2x+3x2+nxn-1, 则xSn=x+2x2+3x3+nxn, -得:(1-x)Sn=1+x+x2+xn-1-nxn 所以
5、答案:,感悟考题 试一试 3.(2014全国卷)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=(),【解析】选A.因为d=2,a2,a4,a8成等比数列,所以 =a2a8,即(a2+2d)2=a2(a2+6d),解得a2=4,所以a1=2. 所以利用等差数列的求和公式可求得Sn=n(n+1).,4.(2017唐山模拟)(2-35-1)+(4-35-2)+ (2n-35-n)=_.,【解析】(2-35-1)+(4-35-2)+(2n-35-n) =(2+4+2n)-3(5-1+5-2+5-n) 答案:,5.(2015江苏高考)数列an满足a1=1,且an+1-an=
6、 n+1(nN*),则数列 的前10项和为_.,【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1= n+(n-1)+(n-2)+2+1= 所以 所以 的前10项和 答案:,考点一裂项相消法求和 【典例1】(2015全国卷)Sn为数列an的前n项 和.已知an0, an2+2an=4Sn+3. (1)求an的通项公式. (2)设bn= ,求数列bn的前n项和. (真题溯源:本题源自A版必修5P47习题2.3B组T4),【解题导引】(1)根据an+1=Sn+1-Sn及an2+2an=4Sn+3转化为an+1与an的关系,确定an的通项公式.(2)利用裂项法求和.,【规
7、范解答】(1)由an2+2an=4Sn+3,可知 an+12+2an+1=4Sn+1+3, 可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1, 即2(an+1+an)= an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an),由于an0,可得an+1-an=2, 又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3. 所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.,(2)由an=2n+1可知 设数列bn的前n项和为Tn,则 Tn=b1+b2+bn,【母题变式】若本例题(2)条件变为b1= ,n2时, bn= 求数列bn的前n项和Tn.,【解析】当n2时,
8、 当n=1时,满足b1= . 当n为偶数时,所以 当n为奇数时, 所以Tn= 所以Tn=,【规律方法】常见的裂项方法(其中n为正整数),【变式训练】设数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,nN*. (1)证明an-n是等比数列,并求数列an的通项公式. (2)若数列bn= ,求数列bn的前n项和Sn.,【解题提示】(1)由数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,nN*,变形为an+1-(n+1)=2(an-n),利用等比数列的通项公式即可得出. (2)bn= 利用“裂项求和”即可得出.,【解析】(1)因为数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1, nN*, 所以an+1
9、-(n+1)=2(an-n),故数列an-n是等比数列, 首项为1,公比为2. 所以an-n=2n-1,即an=n+2n-1.,(2)bn= 所以数列bn的前n项和,【加固训练】 1.(2017郑州模拟)已知数列an的通项公式为an= 其前n项和为Sn,则在数列 S1,S2,S2016中,有理数项的项数为() A.42B.43C.44D.45,【解析】选B. 所以,因此S3,S8,S15为有理项,又下标3,8,15,的通项公式为n2-1(n2), 所以n2-12016,且n2, 所以2n44,所以有理项的项数为43.,2.(2017洛阳模拟)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,
10、a32=9a2a6. (1)求数列an的通项公式. (2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 的前n项和.,【解析】(1)设数列an的公比为q. 由a32=9a2a6得a32=9a42, 所以q2= . 由条件可知q0,故q= . 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1= . 故数列an的通项公式为an= .,(2)bn=log3a1+log3a2+log3an 故 所以数列 的前n项和为,考点二错位相减法求和 【典例2】(2017桐乡模拟)已知公比q不为1的等 比数列an的首项a1= ,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.,(1
11、)求数列an的通项公式. (2)对nN*,在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列,记插入的这n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.,【规范解答】(1)因为a4+S4,a5+ S5,a6+S6成等差数列, 所以2(a5+S5)=a4+S4+a6+S6, 即2a6-3a5+a4=0, 即2q2-3q+1=0, 解得q= , 故an=( )n.,(2)若记插入的n个数为xn(n=1,2,n),由(1) 及等差数列的性质及前n项和公式可知x1+xn=an+an+1,【规律方法】 利用错位相减法的一般类型及思路 (1)求数列的前n项和 一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数
12、列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在和式的两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.若bn的公比为参数(字母),则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.,(2)比较大小或证明不等式 要善于识别题目类型,抓住通项公式的特征,正确变形,分清项数求和,再利用比较法或放缩法解决问题.,(3)数列求和与函数、导数等知识的交汇问题 此类问题通常以数列为载体,以函数为工具,利用函数的相关知识求出数列,然后借用错位相减法求和,进一步解决问题.,【变式训练】(2014全国卷)已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求an的通项公式. (2)求数
13、列 的前n项和.,【解析】(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3, 由题意得a2=2,a4=3,设数列an的公差为d, 则a4-a2=2d,故d= ,从而a1= , 所以an的通项公式为:an= n+1.,(2)设数列 的前n项和为Sn, 由(1)知 则,两式相减得:,【加固训练】 1.(2017西安模拟)化简Sn=n+(n-1)2+(n-2) 22+22n-2+2n-1的结果是() A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2 C.2n-n-2D.2n+1-n-2,【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+ +22n-2+2n-1, 2Sn=n2+(n-1)22+(n-2)2
14、3+22n-1+2n, 所以-得,-Sn=n-(2+22+23+2n)=n+2-2n+1, 所以Sn=2n+1-n-2.,2.(2015山东高考)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3. (1)求数列an的通项公式. (2)若数列bn满足anbn=log3an,求数列bn的前n项和Tn.,【解题提示】(1)an=Sn-Sn-1要注意n2并验证n=1是否满足所求出的关系式.(2)利用错位相减求解.,【解析】(1)Sn= 当n=1时,a1=S1= =3; 当n2时,an=Sn-Sn-1, 即 又a1不满足上式, 所以an=,(2)当n=1时,a1b1=3b1=1,所以b1= ;当n2时,
15、 anbn=3n-1bn=log33n-1=n-1, 所以bn= 故bn= 当n=1时,T1=b1= ;,当n2时,Tn=b1+b2+b3+b4+bn= 则 两式相减得,所以 因为T1= 符合上式,所以bn的前n项和,考点三可转化为等差(比)数列的求和问题 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:分组转化求和 【典例3】(2016北京高考)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式. (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.,【解题导引】(1)利用等差、等比数列的基本量进行计算.(2)采用分组求和法.,【规范解答】(1)
16、bn的公比q= =3, 首项b1= =1,所以bn的通项bn=3n-1. 所以an的首项a1=1,a14=b4=34-1=27, 由a14=1+13d=27得,公差d=2,所以an的通项 an=1+(n-1)2=2n-1.,(2)由(1)得cn=(2n-1)+3n-1.所以数列cn的前n项和Sn为Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn) =(a1+a2+an)+(b1+b2+bn),命题角度2:并项转化求和 【典例4】在等差数列an中,已知d=2,a2是a1与a4的等比中项. (1)求数列an的通项公式. (2)设bn= 记Tn=-b1+b2-b3+(-1)nbn,求Tn.,【解题导引】(1)根据已知条件可列方程求得数列 的通项公式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.,【规范解答】(1)由题意知: a
