《2018版高中数学三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学三角恒等变换3.1.1两角差的余弦公式导学案新人教A版必修4含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.1 两角差的余弦公式 学习目标1. 了解两角差的余弦公式的推导过程.2. 理解用向量法导出公式的主要步骤.3. 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 知识点一两角差的余弦公式的探究 思考 1 如何用角，的正弦、余弦值来表示cos() 呢？有人认为cos() cos cos ，你认为正确吗，试举出两例加以说明. 答案不正确 . 例如：当 2 ， 4 时， cos() cos 4 2 2 ， 而 cos cos cos 2 cos 4 2 2 ， 故 cos() cos cos ； 再如：当 3 ， 6 时， cos() cos 6 3 2 ， 而 cos
2、cos cos 3 cos 6 13 2 ， 故 cos() cos cos . 思考 2 计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想. cos 45 cos 45 sin 45 sin 45 _； cos 60 cos 30 sin 60 sin 30 _； cos 30 cos 120 sin 30 sin 120 _； cos 150 cos 210 sin 150 sin 210 _. 猜想： cos cos sin sin _， 即_. 答案1 3 2 0 1 2 cos() cos() cos cos sin sin 知识点二两角差的余弦公式 思考 1 单位圆中 (
3、如图 ) ，AOx，BOx，那么A，B的坐标是什么？OA 与OB 的夹角 是多少？ 答案A(cos ，sin ) ，B(cos ，sin ). OA 与OB 的夹角是. 思考 2 请根据上述条件推导两角差的余弦公式. 答案OA OB |OA |OB |cos( ) cos() ， OA OB cos cos sin sin . cos() cos cos sin sin . 梳理C( )： cos() cos cos sin sin . (1) 适用条件：公式中的角，都是任意角 . (2) 公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反. 类型一利用两角差的余弦公
4、式化简求值 例 1 计算： (1)cos(15) ；(2)cos 15 cos 105 sin 15 sin 105 . 解(1) 方法一原式 cos(3045) cos 30 cos 45 sin 30 sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 62 4 . 方法二原式 cos 15 cos(4530) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 62 4 . (2) 原式 cos(15105) cos( 90) cos 90 0. 反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路： (1) 把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解. (2)
5、在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式 求值 . 跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos 105 ； (2)cos 46 cos 16 sin 46 sin 16 . 解(1) 原式 cos(15045) cos 150 cos 45 sin 150 sin 45 3 2 2 2 1 2 2 2 26 4 . (2) 原式 cos(4616) cos 30 3 2 . 类型二给值求值 例 2 已知，均为锐角， sin 8 17，cos( ) 21 29，求 cos 的值 . 解因为 0， 2 ，sin 8 17 1 2，所以 0 6 . 又因为 2 ，
6、 6 ，cos() 21 29 3 2 ， 所以 2 6 . 所以 cos 1sin 2 1 8 17 2 15 17， sin() 1cos 2 1 21 29 2 20 29， 所以 cos cos() cos cos() sin sin() 15 17 21 29 8 17 20 29 155 493. 反思与感悟三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、 三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换. 常见的有： () ，() ，(2) () ， 1 2( )() ， 1 2( ) () 等. 跟踪训练2 已知 cos 1 7， cos( ) 11 14，
7、且 ， 0， 2 ，求 cos 的值 . 解， 0， 2 ，(0，). 又cos 1 7， cos( ) 11 14， sin 1cos 2 4 3 7 ， sin() 1cos 2 53 14 . 又 () ， cos cos() cos()cos sin()sin 11 14 1 7 53 14 43 7 1 2. 类型三给值求角 例 3 已知 cos 1 7，cos( ) 13 14，且 0 2 ，求的值 . 解由 cos 1 7，0 2 ， 得 sin 1cos 2 1 1 7 24 3 7 . 由 0 2 ，得 0 2 . 又cos() 13 14， sin()1cos 2 1 13
8、 14 23 3 14 . 由() ，得 cos cos() cos cos() sin sin() ， 即 cos 1 7 13 14 43 7 33 14 1 2， 3 . 反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤： (1) 求角的某一个三角函数值； (2) 确定角的范围； (3) 根据角的范围写出所求的角. 跟踪训练3 已知 cos() 12 13，cos( ) 12 13， 且 2 ， 3 2 ，2 ，求角的值 . 解由 2 ， ，且 cos() 12 13， 得 sin() 5 13. 由 3 2 ，2 ，且 cos() 12 13， 得 sin() 5 13. cos 2cos() (
9、) cos()cos() sin()sin() 12 13 12 13 5 13 5 13 1. 又 3 2 ，2 ， 2 ， ，2 2 ， 3 2 ， 2，则 2 . 1. 计算 cos 5 12 cos 6 cos 12sin 6 的值是 ( ) A.0 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 答案C 解析cos 5 12 cos 6 cos 12sin 6 cos 5 12 cos 6 sin 5 12 sin 6 cos 5 12 6 cos 4 2 2 . 2. 若a(cos 60 ，sin 60 ) ，b(cos 15 ，sin 15 ) ，则ab等于 ( ) A. 2 2 B.
10、 1 2 C. 3 2 D. 1 2 答案A 解析abcos 60 cos 15 sin 60 sin 15 cos(6015) cos 45 2 2 ， 故选 A. 3. 设 0， 2 ，若 sin 3 5，则 2cos 4 等于 ( ) A. 7 5 B. 1 5 C.7 5 D. 1 5 答案A 解析 0， 2 ，sin 3 5，cos 4 5. 2cos 4 2 cos cos 4 sin sin 4 cos sin 4 5 3 5 7 5. 4. 已知 sin sin 3 5，cos cos 4 5，求 cos( ) 的值 . 解(sin sin ) 2 3 5 2， (cos co
11、s ) 2 4 5 2， 以上两式展开两边分别相加，得22cos() 1， cos() 1 2. 5. 已知 sin 4 5，sin 5 13，且 180 270，90180，求cos() 的 值. 解因为 sin 4 5，180 270，所以cos 3 5. 因为 sin 5 13，90 180，所以cos 12 13. 所以 cos() cos cos sin sin 3 5 12 13 4 5 5 13 36 65 20 65 16 65. 1. “给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值， 求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标
12、角”换成“已知角”. 注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧. 2. “给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步 进行： (1) 求角的某一三角函数值； (2) 确定角所在的范围( 找区间 ) ； (3) 确定角的值 . 确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定. 课时作业 一、选择题 1. 化简 cos(45)cos(15) sin(45 )sin(15) 的结果为 ( ) A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 答案A 解析原式 cos(45)cos(15) sin(45)sin(15) cos( 45) (15
13、) cos( 60) 1 2. 2. 已知点P(1 ，2) 是角终边上一点，则cos( 6 ) 等于 ( ) A3 6 6 B. 36 6 C.3 6 6 D. 63 6 答案A 解析由题意可得sin 6 3 ，cos 3 3 ， cos 6 cos 6 cos sin 6 sin 3 2 3 3 1 2 6 3 36 6 . 3. 已知 cos 6 5 13，0 3 ，则 cos 等于 ( ) A. 5312 26 B. 12 53 13 C. 5123 26 D. 553 13 答案A 解析 0， 3 ， 6 6 ， 2 ， sin 6 1 cos 2 6 12 13. cos cos 6
14、 6 cos 6 cos 6 sin 6 sin 6 5 13 3 2 12 13 1 2 5312 26 . 4. 若 cos() 5 5 ，cos 2 10 10 ，并且、均为锐角且，则的值为 ( ) A. 6 B. 4 C. 3 4 D. 5 6 答案C 解析，(0， 2 ) ，( 2 ， 0) ， 2(0，) ，sin() 25 5 ， sin 2 310 10 ， cos() cos2() cos 2cos() sin 2sin() 10 10 5 5 310 10 25 5 2 2 ， (0，) ，3 4 . 5. 若 cos() 3 5，sin 4 5 13， ， 0， 2 ，则
15、 cos 4 的值为 ( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 56 65 D. 36 65 答案C 解析， 0， 2 ， (0，) ， 4 4 ， 4 . 又cos() 3 5， sin 4 5 13， sin()1cos 2 4 5， cos 4 1sin 2 4 12 13， cos 4 cos 4 cos()cos 4 sin()sin 4 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65，故选 C. 6. 计算 sin 7 cos 23 sin 83 cos 67 的值为( ) A.1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 答案B 解析sin 7 cos 23 sin 83 cos 67 cos 83 cos 23 sin 83 sin 23 cos(8323) cos 60 1 2，故选 B. 7.
