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1、第8章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,8.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 8.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 8.3 IIR和FIR数字滤波器的比较,设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为： H(z)是 的N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，原点z=0是N-1阶重极点。H(z)永远稳定。 稳定和线性相位是FIR滤波器突出的优点。,8.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数定义为,(8.1.1),(8.1.2),式中，Hg()称为幅度特性，
2、()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|,Hg()为的实函数，可能取负值; 而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 ()=-, 为常数 (8.1.3) 如果()满足下式： ()=0-, 0是起始相位 (8.1.4) 严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,一般称满足(8.1.3)式是第一类线性相位；满足(8.1.4)式为第二类线性相位。 下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是： h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (8.1.5) 满足第二类线性相位的条件是： h(n)是实序
3、列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (8.1.6),(1) 第一类线性相位条件证明：,将(8.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,则有,(8.1.7),按照上式可以将H(z)表示为,将z=e j代入上式，得到：,按照(8.1.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为,(8.1.8),(8.1.9),(2) 第二类线性相位条件证明：,(8.1.10),令m=N-n-1,则有,同样可以表示为,因此，幅度函数和相位函数分别为,(8.1.11),(8.1.12),该类线性相位FIR滤波器适合于90度移相器中，故又称这类滤波器为正交变换网络。,8.2 利用窗函数法设计FIR
4、滤波器,定义设计的理想滤波器传输函数为Hd(ej), hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此:,如果已知 则可求出hd(n)，经过z变换可得到滤波器的系统函数。 一般 逐段恒定，在边界频率处有不连续点，故致使hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。 例如：理想的低通滤波器的传输函数,(8.2.1),相应的单位取样响应hd(n)为,(8.2.2),为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。 设截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (8.2.3),图8.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗,对(8.2.3)式进
5、行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：,(8.2.4),式中，Hd(ej)和RN(ej)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即,(8.2.5),RN()称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ej)写成下式：,按照(8.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd()为,将Hd(ej)和RN(ej)代入(8.2.4)式，得到：,将H(ej)写成下式：,(8.2.6),该式表明了滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性 与矩形窗幅度特性 的卷积。,图8.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响,通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H()和原理想低通Hd()差别有以下两点： (1)在理想特性不
6、连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即4/N。 (2)通带内增加了波动，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。RN()波动越快(N加大时)，通带、阻带波动越快。,以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。,通过实验分析：调整窗口的长度N可以有效的控制过渡带的宽度。减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状上找解决办法。 思路：能否找到窗函数的形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就减小，旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。,下面介绍几种常用的窗函数。设 h(n)=hd(n
7、)w(n) 式中w(n)表示窗函数。 1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 前面已分析过，按照(8.2.5)式，其频率响应为,(8.2.7),2. 三角形窗(Bartlett Window),(8.2.8),其频率响应为,(8.2.9),3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,(8.2.10),图8.2.3 汉宁窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗改进的升余弦窗,(8.2.11),其频域函数WHm (e j)为,其幅度函数WHm()为,当N1时，可近似表示为,5. 布莱克曼(Blackman)窗,(8.2.12),其频域函数为,其幅度函数为,(8.2
8、.13),6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：,图8.2.4 常用的窗函数,图8.2.5 常用窗函数的幅度特性 (a)矩形窗；(b)三角窗；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,图8.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)三角形窗；(c)汉宁窗； (d)哈明窗；(e)布莱克曼窗,表8.2.2 六种窗函数的基本参数,MATLAB提供了窗函数的子程序：,1)w=boxcar(M)在数组w中产生M点的矩形窗函数； 2)w=triang(M)在数组w中产生M点的三角
9、形窗函数； 3)w=hanning(M)在数组w中产生M点的hanning窗函数； 4)w=hamming(M)在数组w中产生M点的hamming窗函数； 5)w=blackman(M)在数组w中产生M点的blackman窗函数； 6)w=kaiser(M,beta)在数组w中产生beta值M点的凯塞窗函数；,下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。 (1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么单位取样响应用下式求出： 如果Hd(ej)较复杂，或者不能用封闭的公式表示时，则不能用上式求出hd(n)。可以对Hd(ej)从0至 采样M点，并
10、用 代替(8.2.14)中的 ， (8.2.14)近似写为：,(8.2.14),(8.2.15),根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系：,因此，如果M取得比较大，可以保证在窗口内hM(n)有效的逼近hd(n)。实际计算时，可以用Hd(ej)的M点采样值，进行M点IDFT得到。,(2) 根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。因过渡带近似与窗口长度N成反比， ，A取决于窗口形式。 (3) 计算滤波器的单位取样响应h(n) h(n)=hd(n)w(n),其中 是已选好的窗函数。如果要求线性相位，则要求
11、hd(n)和 均对(N-1)/2对称。,(4) 验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算： 计算时可用FFT算法。如果H(ej)不满足要求，根据具体情况重复(2),(3),(4)步，直到满足要求。,例8.2.1 设计线性相位FIR低通滤波器，给定采样频率 ，通带截止频率 ，阻带截止频率 ，阻带衰减不少于-50dB，幅度特性如图所示。,解：1求各对应的数字频率。,2理想的低通线性相位滤波器 求 故 取 满足线性相位。,3.由 确定窗函数形状，确定N。 ，查表可选用哈明窗。 故 4.由 确定h(n).,故 5.检验各项指标是否满足要求，不满足则需改变N或窗形状。,例 设计数字FI
12、R低通滤波器，技术指标如下：,解：使用hamming和blackman窗函数都能提供大于50dB阻带衰减。这里选用hamming窗函数，它给出比较小的过渡带。 wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr_width = ws - wp M = ceil(8*pi/tr_width) n=0:1:M-1; wc = (ws+wp)/2;% hd = ideal_lp(wc,M); w_ham = (hamming(M);,h = hd .* w_ham; db,mag,pha,grd,w = freqz(h,1); % plots subplot(1,1,1) subplot(2,
13、2,1); stem(n,hd); title(Ideal Impulse Response) axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(hd(n) subplot(2,2,2); stem(n,w_ham);title(Hamming Window) axis(0 M-1 0 1.1); xlabel(n); ylabel(w(n) subplot(2,2,3); stem(n,h);title(Actual Impulse Response) axis(0 M-1 -0.1 0.3); xlabel(n); ylabel(h(n) subplot(2,
14、2,4); plot(w/pi,db);title(Magnitude Response in dB);grid axis(0 1 -100 10); xlabel(frequency in pi units); ylabel(Decibels) set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,0.2,0.3,1) set(gca,YTickMode,manual,YTick,-50,0) set(gca,YTickLabelMode,manual,YTickLabels,50; 0),8.3 IIR和FIR数字滤波器的比较,首先，从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位
15、于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的，选择性越好的IIR滤波器其相位特性越差。 FIR滤波器除了原点处的极点没有可控制的极点，所以要获得与IIR滤波器相同的技术指标，其阶数可能是IIR的5-10倍。,从结构上看，IIR滤波器极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。 从设计工具看，IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR由于冲激响应是有限长的，可以使用FFT，从而提高运算速度。 从适用范围看，IIR滤波器适合于具有分段常数特性的滤波器; 而FIR则要灵活的多，可以适应各种幅度特性及相位的要求。,本章小结,1.线性相位FIR滤波器的条件； 2.用窗函数法设计线性相位FIR滤波器的方法和步骤； 3.IIR和FIR滤波器的比较。,大作业,设原始信号为 采用IIR滤波器和FIR滤波器设计低通滤波器，比较两类滤波器的滤波结果。 要求：采用MATLAB语言实现，并分析结果。,
