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1、.,利用柱坐标计算三重积分的步骤,考虑是否用柱坐标计算,化为柱坐标系下 三重积分,积分次序：,定限方法：,化为累次积分,计算累次积分,注意,对一个变量积分时，将其余变量视为常数,的投影为圆或圆的一部分,三变、一勿忘,积分区域,柱坐标表示,被积函数,体积元素,一个勿忘,一般先z后再,投影、发射,.,利用球坐标计算三重积分的步骤,考虑是否用球坐标计算,化为球坐标系下 三重积分,积分次序：,定限方法：,化为累次积分,计算累次积分,注意,对一个变量积分时，将其余变量视为常数,的球或球的一部分,f(x,y,z)中含有,三变、一勿忘,积分区域,球坐标表示,被积函数,体积元素,一个勿忘,一般先r后再,观察、
2、想象,.,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,小结,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,.,2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;,1. 把往xoy平面上投影,得积分区域D;,3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;,4. 再求关于x,y的二重积分.,先一后二”积分法的基本步骤:,对za,b用过点(0,0,z)且平行 xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;,1. 把向z轴投影,得z的积分限a,b;,3. 先求关于x,y的二重积分,得,“先二后一”积分法的基本步骤:,4. 最后计算单积分,.,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分
3、的计算,三重积分,第十章,.,回忆用投影法（先一后二）计算三重积分,如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域,则二重积分应当考虑用极坐标计算.,这就等于用柱面坐标计算三重积分.,2. 利用柱坐标计算三重积分,.,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,.,在柱面坐标系中体积元素为,因此,元素区域由六个坐标面围成,.,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,.,常见曲面的柱面坐标方程,半球面,圆锥面,
4、旋转抛物面,圆柱面,圆柱面,圆柱面,.,常见曲面的柱面坐标方程,.,2、利用公式,用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：,1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D,3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；,4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）,次序为：zr,将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；,柱面坐标常用于：,圆柱体和圆锥体上的三重积分。,.,例1. 计算三重积分,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,在柱面坐标系下,原式 =,解:,在xOy面上的投影区域D:,上边界曲面为z = 4 下边界曲面为z .,.
5、,例2. 计算,解：,故在xOy平面,得交线,上投影区域为,所围成 .,与平面,其中 由圆锥面,上边界曲面为z = 4 下边界曲面为z .,.,解:,例3. 计算三重积分,所围成 .,与抛物面,其中 由球面,知交线为,由,原式 =,上边界:,下边界:,.,其中 为,例4. 计算三重积分,所,解: 在柱面坐标系下,及平面,由柱面,围成半圆柱体.,.,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,.,半平面 及 + d ； 半径为r及r + dr的球面； 圆锥面及+d,r,dr,d,rsin,圆锥面,rd,球面r,圆锥面 + d,球面r+d r,元素
6、区域由六个坐标面围成：,d,rsind,球面坐标下的体积元素,.,元素区域由六个坐标面围成：,球面坐标下的体积元素,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及 + d,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,rsind,.,dv,.,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,.,球面坐标,直角坐标,球体,下面介绍一些区域的球面坐标的描述,.,球面坐标,直角坐标,球体,.,球面坐标,直角坐标,球顶锥体,.,常见的曲面在球坐标下的方程,.,次序为: r,2. 将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，,4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.,1. 关系式,3. 对任一，
7、过z轴做半平面，找出角变化最,用球面坐标计算三重积分的一般步骤：,将的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；,由D找出的上下限；,大的与的截面，确定的上下限,注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。,.,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,.,例6. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,.,求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成,于是所求立体的体积为,此球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az,
8、例6.,的立体的体积, 由圆锥面和球面围成 ,解:,采用球面坐标，,锥面方程为 ,在球面坐标下球面方程为r2acos ,.,例7. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,面,是由两个球,.,.,解:,例7. 计算三重积分,所围立体.,其中,面,是由两个球,原式,.,a,.,M,.,r,解: 在球面坐标系下,10(2).计算,其中,由不等式,所确定.,.,.,.,解: 在球面坐标系下,10(2).计算,其中,由不等式,所确定.,.,所围成的闭区域.,11(2).计算,其中,是由球面,解: 在球面坐标系下,.,所围成的闭区域.,10(1).计算,其中,是由球面,解: 在球面坐标系下
9、,.,所围成的在第一卦限内的闭区域.,11(1).计算,其中,为柱面,解: 在柱面坐标系下,及平面,.,11(2).求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yOz面对称, 并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xOz,.,3. 设 由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,.,内容小结,积分区域多由坐标面,被积函数形式简洁, 或,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成 ;,.,作业,P164 9，10，11（1，2）。,第四节,.,例7.求曲面,
10、所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yOz面对称, 并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xOz,.,3. 计算,其中,解:,利用对称性,.,1. 将,用三次积分表示,其中 由,所,提示:,思考与练习,六个平面,围成 ,.,44,例8,解1,解2,.,例9,解,.,例10,解,.,备用题 1. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,采用“三次积分”较好.,.,所围,故可,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,表为,解:,.,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,.,例5. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中 由抛物面,原式 =,
