《理论力学11—动量矩定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学11—动量矩定理（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一章,动量矩定理,11 动量矩定理,由静力学力系简化理论知：,由刚体平面运动理论知：,若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。,刚体绕质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。,引言,平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。,刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。,它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。,1 质点的动量矩,质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩,Mz(mv),质点动量mv在oxy平面内
2、的投影(mv)xy对于点O的矩,11.1 质点和质点系的动量矩,定义为质点动量对于z轴的矩,简称对于z轴的动量矩，是代数量。,是矢量。,类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。,在国际单位制中，动量矩的单位是kgm2/s。,MO(mv)zMz(mv),11.1 质点和质点系的动量矩,11.1 质点和质点系的动量矩,质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。,2 质点系的动量矩,LO=MO(mv),质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数和。,Lz=Mz(mv),质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影，
3、等于质点系对该轴z的动量矩。,LOz= Lz,11.1 质点和质点系的动量矩,3 平动刚体的动量矩,刚体平动时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。,4 定轴转动刚体的动量矩,令iri2称为刚体对z轴的转动惯量, 于是得,即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,11.1 质点和质点系的动量矩,注意：,对点的动量矩是矢量，对轴的动量矩是代数量。,计算质点系相对于质心的动量矩时，无论是用绝对运动的动量，还是用相对于以质心为基点的平动坐标系的相对运动的动量，其计算结果是相同的。,对质心之外的其它点，用上述两种方法计算的动量矩是不同的，必须用绝对运
4、动中的动量来计算动量矩。,例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与圆盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。,解：,LO的转向沿逆时针方向。,11.1 质点和质点系的动量矩,1 质点的动量矩定理,设质点Q对固定点O的动量矩为MO(mv),将动量矩对时间取一次导数，得,11.2 动量矩定理,作用力F对同一点的矩为MO(F),如图所示,因为,所以,又因为,所以,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。,11.2 动量矩定理,将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的
5、关系代入，得,质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。,11.2 动量矩定理,例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。,解：以摆锤为研究对象，建立如图坐标，受力如图。,式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j 的正负号相反。,11.2 动量矩定理,它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。,在任一瞬时，摆锤的速度为v,摆的偏角为j ，则,11.2 动量矩定理,由,即,这就是单摆的运动微分方程。,此微分方程的解为,其中A和为积分常数，取决于初始条件。,显
6、然，周期只与l有关，而与初始条件无关。,得,可见单摆的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为,当j 很小时，sinjj，摆作微摆动,于是上式变为,设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。,这样的方程共有n个，相加后得,由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项,11.2 动量矩定理,由质点的动量矩定理有,2 质点系的动量矩定理,上式左端为,于是得,质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点之矩的矢量和。,11.2 动量矩定理,11.2 动量矩定理,在应用质点系的动量矩定理时，取投影式,质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用
7、于质点系的外力对于同一轴之矩的代数和。,11.2 动量矩定理,3 动量矩守恒定律,如果作用在质点系上的力对某定点之矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。则,当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩守恒。,由上式可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。,如果作用在质点系上的力对某定轴之矩恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。则,这就是质点系动量矩守恒定律。,11.2 动量矩定理,注意：,(1)内力不能改变质点系对定点或对质心的动量矩，只有外力矩才能使之改变。,(2)动量矩定理仅仅对定点(或定轴)及质心(或质心轴)成立，对一般的动点或动轴通常是不成立
8、的。在应用动量矩定理时一定要注意这一点。,(3)这里所称的质心轴Cx、Cy、Cz，均是指以质心为基点的平动坐标轴。,11.2 动量矩定理,例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。,解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则,分析：,小车的速度对时间的一阶导数等于加速度，利用动量矩定理可求出小车速度的表达式。,11.2 动量矩定理,因 ,于是解得,若Mm2gRsin，则a0，小车的加速度沿轨道向上。,必须强调的是：为使动量矩
9、定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,由 ，有,11.2 动量矩定理,例4 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕z轴的角速度为0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度 。,分析：,系统所受外力对z轴之矩均为零,故不能使用动量矩定理,但正因为系统所受外力对z轴之矩均为零,故应使用动量矩守恒定理。,所以动量矩守恒,11.2 动量矩定理,显然，此时的角速度ww 0。,解：以系统为研究对象,系统所受的
10、外力有小球的重力和轴承处的反力,这些力对转轴之矩都等于零。,所以系统对转轴的动量矩守恒，即,11.2 动量矩定理,解：取系统为研究对象，系统对O点的动量矩为：,例5 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。,分析：,重物下落的加速度等于速度对时间的一阶导数,因为：,重物对O点有力矩，也有动量矩，圆轮的动量矩可求，所以可用动量矩定理求解。,11.2 动量矩定理,系统外力对O点之矩为：,将系统的动量矩表达式和外力对O点之矩表达式代入动量矩定理,得：,所以：,所以：,11.2 动量矩定理,例6 一绳跨过定滑轮，其
11、一端吊有质量为 m的重物A，另一端有一质量为m的人以速度u相对细绳向上爬。若滑轮半径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。,解：以系统为研究对象，受力如图。,设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为,由于MO(F (e)0，且系统初始静止。,所以LO0。,11.2 动量矩定理,由上可知，人与重物A具有相同的的速度,如果开始时，人与重物A位于同一高度,此速度等于人相对绳的速度的一半,则不论人以多大的相对速度爬绳，人与重物A将始终保持相同的高度。,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,设刚体绕定轴 z 以角速度w 转动,刚体受有主动力和轴承约束反力,或,则 Lz Jzw,如不
12、计摩擦，则由质点系动量矩定理得,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的主动力对该轴之矩的代数和。,第一类基本问题：已知质点系的运动，求作用在质点上的力矩。,第二类基本问题：已知作用在质点系上的力矩，求质点系的运动。,以上各式均称为刚体绕定轴转动的微分方程。,应用刚体定轴转动的微分方程可以解决动力学两类问题。,这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。,这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,例8 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速
13、度。,解：由刚体定轴转动的微分方程,于是得,由上式可见,只有当定滑轮匀速转动（包括静止）,或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时,跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。,例9 图示物理摆的质量为m，C为其质心，摆对转轴的转动惯量为JO。求微小摆动的周期。,分析：,要求摆动周期，需要求出此物理摆的运动方程,解：设角以逆时针方向为正。,当微摆动时，有 sin j j ，故方程写为,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,而运动方程，要通过求解其定轴转动的运动微分方程得到。,当角为正时，重力对O点之矩为负。,由刚体定轴转动的微分方程，有,这就表明:,此方程通解为,j 0为角振幅,则：,11.3 刚体绕定
14、轴转动的转动微分方程,摆动周期为,a为初相位,它们均由初始条件确定。,如已知某物体的质量和质心位置,并将物体悬挂于O点作微幅摆动,测出摆动周期后即可计算出此物体对于O轴的转动惯量。,例10 如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度0绕水平轴转动，其阻力矩 Maw (a为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转?,解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有,将（1）式变换，有,将上式求定积分，得,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,将(1)式改写为,即,将上式求定积分，得,转过的角度为,因此转过的转数,11.3
15、刚体绕定轴转动的转动微分方程,例11 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。,解：分别以两轮为研究对象，受力如图,由运动学关系，得,注意到，联立求解以上三式得,由刚体定轴转动的微分方程，有,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,解除约束前：,FOx=？,FOy=？,例题12 关于突然解除约束问题,FOx=0, FOy=mg/2,突然解除约束瞬时：,11.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程,突然解除约束瞬时,解：应用定轴转动微分方程,应用质心运动定理得：,分析：,杆绕O轴的转动惯量
16、为：,杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。,这时，0，0,需要先求出 ，再确定约束力。,由前知，刚体对轴 z 的转动惯量定义为：,对于质量连续分布的刚体，上式可写成积分形式,由定义可知，转动惯量不仅与质量有关，而且与质量的分布有关。,在国际单位制中，转动惯量的单位是: kgm2。,同一刚体对不同轴的转动惯量是不同的,11.4 刚体对轴的转动惯量,刚体上所有质点的质量与该质点到轴 z 的垂直距离的平方乘积的算术和。即,而它对某定轴的转动惯量却是常数,因此在谈及转动惯量时，必须指明它是对哪一轴的转动惯量。,（1） 均质细杆,设均质细杆长l，质量为m,11.4 刚体对轴的转动惯量,1 简单形状物体的转动惯量,取微段dx,则,（2） 均质薄圆环对于中心轴的转动惯量,设细圆环的质量为m，半径为R。,（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量,设圆板的质量为m，半径为R。,将圆板分为无数同心的薄圆环。,任一圆环的质量为dm2rdr,11.4 刚体对轴的转动惯量,m/R 2,则,于是圆板转动惯量为,11.4 刚体对轴的转动惯量,在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯
