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1、第 1 页 共 12 页 2019 年 九年级中考数学三轮冲刺解直角三角形实际问题 冲刺练习 考点一：解直角三角形应用仰角俯角问题 1. 如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度 . 该楼底层为车库，高2.5 米；上面 五层居住， 每层高度相等 . 测角仪支架离地1.5 米，在 A处测得五楼顶部点D的仰角为60， 在 B处测得四楼顶部点E的仰角为30，AB=14米. 求居民楼的高度 ( 精确到0.1 米，参考数据：3 1.73). 2. 如图, 大楼AB右侧有一障碍物 , 在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物 边缘点 C的俯角为30, 测得大楼顶端A的仰角为45（
2、点 B，C，E 在同一水平直线上） ，已知 AB=80m,DE=10m,求障碍物B，C 两点间的距离（结果精确到0.1m） （参考数据：1.414， 1.732） 3. 如图, 在小山的西侧A处有一热气球 , 以25 米/ 分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为15的 方向升空 ,40分钟后到达B处, 这时热气球上的人发现 , 在A处的正东方向有一处着火点C,在 B 处测得着火点C的俯角为30, 求热气球升空点A与着火点C的距离 . （结果保留根号） 第 2 页 共 12 页 4. 如图, 某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m 的 A处出发 , 沿着俯角为15的方向 , 直线滑行 1600 米
3、到达 D点，然后打开降落伞以75的俯角降落到地面上的B点. 求他飞行的水平距离BC （结果精确到1m ） 5. 某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD （CD AE ） , 在课外活动时间测得 下列数据： 如图, 从地面E点测得地下停车场的俯角为30, 斜坡 AE的长为 16 米, 地面 B点（与 E点在同一水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米，试 求该校地下停车场的高度AC及限高 CD （1.73，结果精确到0.1 米） 6. 如图 1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2 是侧面示意图已知自动扶梯AB的坡度为 1：2.4 ，AB 的长度
4、是13 米，MN是二楼楼顶， MN PQ ，C是 MN 上处在自动扶梯顶端B点正上方 的一点， BC MN ，在自动扶梯底端A处测得 C点的仰角为42，求二楼的层高BC （精确到0.1 米） （参考数据： sin42 0.67，cos420.74，tan420.90） 第 3 页 共 12 页 7. 如图, 某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后. 选定测量小河对岸一幢建筑物 BC的高度 . 他们先在斜坡上的D处, 测得建筑物顶的仰角为30. 且 D离地面的高度DE=5m. 坡底 EA=10m, 然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50, 点 E,A,C 在同一水平线上 , 求建筑物BC
5、的 高 （结果保留整数） 考点二：解直角三角形应用坡度问题 1. 如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD, 其中 AD BC,坝顶BC=10米, 坝高 20 米, 斜坡 AB的坡 度 i=1:2.5,斜坡 CD的坡角为30 （1）求坝底AD的长度（结果精确到1 米） ； （2）若坝长100 米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：） 2. 如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一 座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处， 测得树顶端D的仰角为60，已知 A点的高度 AB为 2 米，台阶 AC的坡度为1：（即
6、AB ： BC=1 ： ），且 B，C，E 三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度（测量器的高度忽 略不计） 第 4 页 共 12 页 3. 如图山坡上有一根旗杆AB ， 旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为 6米， 斜坡 BC的坡度 i=1 ： 小明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从 E处测得 旗杆顶部A的仰角为45，旗杆底部B的仰角为20 （1）求坡角 BCD ； （2）求旗杆AB的高度 （参考数值： sin20 0.34，cos200.94，tan200.36） 4. 如图，已知斜坡AP的坡度为1：2.4 ，坡长 AP为 26 米，在坡顶A处
7、的同一水平面上有一座古 塔 BC ，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为 76求： （1）坡顶A到地面 PQ的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1 米） （参考数据： sin76 0.97，cos760.24，tan764.01） 5. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6 米，坡面 BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过 天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1： （1）求新坡面的坡角a； （2）原天桥底部正前方8米处（ PB 的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由 第 5 页 共 12 页 考点三：解直角三角形应用方位角问题 1.
8、如 图 ， “ 中 国 海 监 50” 正 在 南 海 海 域 A 处 巡 逻 ， 岛 礁 B 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 B 的 正 西 方 向 上 ， 岛 礁 C 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 C的 南 偏 东 30 方 向 上 ， 已 知 点 C 在 点 B 的 北 偏 西 60 方 向 上 ， 且 B、 C 两 地 相 距 120 海 里 （ 1） 求 出 此 时 点 A 到 岛 礁 C 的 距 离 ； （ 2） 若 “ 中 海 监 50” 从 A 处 沿 AC 方 向 向 岛 礁 C 驶 去 ， 当 到 达 点 A 时 ， 测 得 点 B 在 A
9、 的 南 偏 东 75 的 方 向 上 ， 求 此 时 “ 中 国 海 监 50” 的 航 行 距 离 （ 注 ： 结 果 保 留 根 号 ） 2. 如图, 禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在 他们东北方向距离12 海里的 B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75方向以每小时10 海里的速 度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功 拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间. 3. 如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头 MN和灯塔 C，灯塔 C距码头的 东端 N有 20km 以
10、轮船以36km/h 的速度航行，上午10：00 在 A处测得灯塔C位于轮船的北偏 西 30方向，上午 10： 40 在 B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60方向，且与灯塔 C相距 12km （1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由（参考数据：1.4 ， 1.7 ） 第 6 页 共 12 页 4. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1） ，A、B、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上 的点（如图2） ，点 C在点 A的北偏东47方向，点B在点 A的南偏东79方向，且A、B 两点 的距离约为5.5km；同时，点B在点 C的南偏西36
11、方向若一艘中国渔船以30km/h 的速度从 点 A驶向点 C捕鱼，需要多长时间到达 （结果保留小数点后两位）？ （参考数据： sin54 0.81， cos540.59，tan471.07，tan360.73，tan110.19） 5. 如图，大海中某岛C的周围 25km范围内有暗礁一艘海轮向正东方向航行，在A处望见 C在 北偏东 60处，前进20km后到达点 B，测得 C在北偏东45处如果该海轮继续向正东方向航 行，有无触礁危险？请说明理由（参考数据：1.41，1.73） 6. 某市开展一项自行车旅游活动, 线路需经 A、B、C、D四地, 如图, 其中A、B、C三地在同一直线 上， D地在A
12、地北偏东30方向 , 在C地北偏西45方向 ,C地在A地北偏东75方向 . 且BC=CD=20km， 问沿上述线路从 A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据： sin15 0.25， cos150.97，tan150.27，） 第 7 页 共 12 页 参考答案 考点一： 1. 解： 2. 解：如图，过点D作 DF AB于点 F，过点 C作 CH DF 于点 H则 DE=BF=CH=10m， 在直角 ADF 中， AF=80m 10m=70m ，ADF=45 ， DF=AF=70m 在直角 CDE中， DE=10m ，DCE=30 ， CE=10（m ） ， BC=BE CE
13、=70 107017.3252.7（m ） 答：障碍物B，C 两点间的距离约为52.7m 3. 解：作 AD BC垂足为 D，AB=40 25=1000， BE AC ， C= EBC=30 ， ABD=90 3015=45， 在 RtABD中，sin ABD=，AD=ABsin ABD=1000 sin45 =1000=500， AC=2AD=1000，答：热气球升空点A与着火点 C的距离是1000米 4. 解：过点D作 DE AC于点 E，过点 D作 DF BC于点 F， 由题意可得： ADE=15 ， BDF=15 ，AD=1600m ，AC=500m ， cosADE=cos15 =0
14、.97，0.97，解得： DE=1552 （m ）， sin15 =0.26，0.26，解得； AE=416 （m ）， 第 8 页 共 12 页 DF=500 416=84（m ）， tan BDF=tan15 =0.27，0.27， 解得： BF=22.68（m ）， BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68 1575（m ）， 答：他飞行的水平距离为1575m 5. 解：连接AC ， ABE=90 ， E=30 ， AB=0.5AE=8 ，AC=8 1.2=6.8 ， CD=AC?sin EAB=6.8 5.9 ， 答：地下停车场的高度AC为 6.8 米，限高CD约为 5.
15、9 米 6. 7. 解：过点D作 DM BC于点 M ，DN AC 于点 N，如图所示： 则四边形DMCN 是矩形， DH=EC ，DE=HC ，设建筑物BC的高度为 xm ，则 BH= （x5）m ， 在 RtDHB中， BDH=30 ， DH=（x5） ，AC=EC EA=（x5）10， 在 RtACB中， BAC=50 ，tan BAC=，x=tan50?（x5） ， 解得： x21，答：建筑物BC的高约为21m 第 9 页 共 12 页 考点二： 1. 解：（ 1）作BE AD 于 E， CF AD于 F，则四边形BEFC 是矩形， EF=BC=10 米， BE=20 米，斜坡AB 的
16、坡度 i=1 ： 2.5 ，AE=50米， CF=20米，斜坡CD 的坡角为30 ，DF=20 35米， AD=AE+EF+FD=95米； （ 2）建筑这个大坝需要的土石料：（95+10 ）20 100=105000米 3 2. 3. 4. 解： （1）过点 A作 AH PQ ，垂足为点H 斜坡 AP的坡度为1：2.4 ，AH:PH=5 ：12，设AH=5km ，则 PH=12km ， 由勾股定理，得AP=13km 13k=26m 解得 k=2AH=10m 答：坡顶A到地面 PQ的距离为 10m （2）延长BC交 PQ于点 DBC AC ，AC PQ ，BD PQ 四边形AHDC 是矩形， CD=AH=10，AC=DH BPD=45 ， PD=BD 第 10 页 共 12 页 设 BC=x ，则 x+10=24+DH AC=DH=x 14 在 RtABC中，tan76=BC:AC ，即x:(x-14)4.0 ，解得x19，答：古塔BC的高度约为19 米 5. 解： （1）新坡面的坡度为1：，tan =tanCAB=， =3
