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1、第 1 页 共 7 页 2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析） 17在 ABC中，内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 b2acos C 3 1 求A； 2若 b2 3c ，且 ABC面积 2 3 ，求a的值 18在ABC中，CACBCACB. (1) 求角C的大小； (2)若CDAB，垂足为D，且 4CD ，求ABC面积的最小值 . 19 在 ABC中，内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c， 0 30B ， 三边, ,a b c成等比数列， 且ABC面积为 1，在等差数列 n a中， 1 1a，公差为 b. （ 1）求数列 n a 的通项公式； （ 2）
2、数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，设 n T为数列 n b的前n项和，求 n T的取值范围 . 第 2 页 共 7 页 20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域）设计成半径为 1km的 扇形 EAF，中心角 42 EAF为方便观赏，增加收入，在种植区域外 围规划观赏区（区域）和休闲区（区域），并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是10 万元、 20 万元、 20 万元 （ 1）要使观赏区的年收入不低于5 万元，求的最大值； （ 2）试问：当为多少时，年总收入最大？ 2
3、1已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当 0m 时求函数( )f x 的最小值； (2)若函数( )5f x在1,4x上恒成立求实数m的取值范围 . 22已知函数 3211 1 323 a fxxaxxaR. （ 1）若1a，求函数fx的极值； （ 2）当0 1a 时，判断函数 fx 在区间0,2上零点的个数 . 第 3 页 共 7 页 2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析） 17在 ABC中，内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 b2acos C 3 1 求A； 2若 b2 3c ，且 ABC面积 2 3 ，求a的值 解： （1）2 3 b cos C
4、 a ， b=2a（cosCcos 3 +sinCsin 3 ） ，可得： b=acosC+ 3 asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+ 3 sinAsinC ， 可得： sin（A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+ 3sinAsinC ， 可得： cosA= 3 sinA，可得： tanA= 3 3 ， A（ 0， ） ， A= 6 （ 2） b2 3c ，且 ABC 面积 2 3= 1 2 bcsinA= 1 2 2 3c c 1 2 ， 解得： c=2，b=4 3 ， 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2 4 3
5、 2 3 2 =28，解得： a=2 7 18在ABC中，CACBCACB. (1) 求角C的大小； (2)若CD AB，垂足为D，且4CD，求ABC面积的最小值 . 解： （1）由CACBCACB，两边平方 22 CACBCACB ， 即 22 CACBCACB ，得到 20CA CB ，即 CACB 。 所以 2 C. （ 2）在直角ADC中， 4 sinsin CD AC AA ， 第 4 页 共 7 页 在直角BDC中， 4 sinsin CD BC BB ， 又0, 2 A，所以 sinsincos 2 BAA， 所以 1144816 22 sinsinsin cossin2 ABC
6、 SCA CB ABAAA ， 由+ 2 A B 得，20,A，故sin20,1A， 当且仅当 4 A时， max sin21A，从而 min 16 ABC S. 19 在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c， 0 30B ， 三边, ,a b c成等比数列， 且ABC面积为 1，在等差数列 n a中， 1 1a，公差为 b. （ 1）求数列 n a的通项公式； （ 2）数列 n b满足 1 1 n nn b a a ，设 n T为数列 n b的前n项和，求 n T的取值范围 . 解： （1） 2 bac， 2111 1 224 Sacb， 2b ， 21 n an， * n
7、N . （ 2） 111 22121 n b nn ， 11111111 11 23352121221 n T nnn n T是关于 n 的增函数 * nN， ， 11 32 n T. 20某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域）设计成半径为1km的 扇形 EAF，中心角 42 EAF为方便观赏，增加收入，在种植区域外 围规划观赏区（区域）和休闲区（区域），并将外围区域按如图所示的方案扩建成 正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上已知种植区、观赏区和休闲区 每平方千米的年收入分别是10 万元、 20 万元、 20 万元 第 5 页 共 7 页 （ 1）要使观赏区的年收入不
8、低于5 万元，求的最大值； （ 2）试问：当为多少时，年总收入最大？ 解： （ 1） 1AFAE ，AD AB， 2 DB，所以 ADF 与 ABE 全等 . 所以 1 22 DAFBAE ，观赏区的面积为 1111 2?sin?cossin 2sincos 22222 SDFADDAFDAFDAF ，要使得观赏区的年收入不低于5 万元，则要求 51 204 S，即 1 cos 2 ，结合 42 可知 43 ，则的最大值为 3 . （ 2）种植区的面积为 11 22 SAF AE ， 正方形面积为 221cos21sin cos 22 DAF SADDAF， 设年总收入为( )W万元，则 1s
9、in1 ( )1020201020()5201010sin5 22 WSSSSSS ， 其中 42 ，求导可得( )10cos5W. 当 43 时，( )0W，( )W递增；当 32 时，( )0W，( )W递增 . 所以当 3 时，( )W取得最大值，此时年总收入最大. 21已知函数 4 ( )f xxmm x . (1)当 0m时求函数 ( )f x 的最小值； (2)若函数( )5f x在1,4x上恒成立求实数 m的取值范围 . 第 6 页 共 7 页 解： （）当0m时， 444 24fxxxx xxx ，当且仅当 4 x x ，即 2x 时等号成立， 所以4 min fx （）由题意
10、得 4 5xmm x 在1,4x上恒成立， 即 4 5xmm x 在1,4x上恒成立， 所以 4 55mxmm x 在1,4x上恒成立， 即 4 255mx x 在1,4x上恒成立， 设 4 ,1,4g xxx x ，则g x在1,2上单调递减，在2,4上单调递增， min 24g xg， 又15,45gg， 254m ， 解得 9 2 m， 所以实数m的取值范围是 9 , 2 22已知函数 3211 1 323 a fxxaxxaR. （ 1）若1a，求函数fx的极值； （ 2）当01a时，判断函数fx在区间0,2上零点的个数 . 解： （ 1） 3211 1 323 a fxxaxx， 2
11、1 111fxaxaxa xx a ， 因为1a，所以 1 01 a ， 当 x 变化时，,fxfx的变化情况如下表： 第 7 页 共 7 页 x 1 , a 1 a 1 ,1 a 1 1, fx0 - 0 fx递增极大值递减极小值递增 由表可得当 1 x a 时，fx有极大值，且极大值为 2 2 1231 6 aa f aa ， 当 1x 时，fx有极小值，且极小值为 1 11 6 fa. （ 2）由（ 1）得 1 1fxa xx a 。 01a ， 1 1 a . 当 11 20 2 a a ，即时，fx在0,1上单调递增，在1,2上递减 又因为 111 00,110,2210 363 ffafa 所以 fx 在（ 0,1）和（ 1,2）上各有一个零点， 所以0,2fx 在上有两个零点。 当 1 12 a ，即 1 1 2 a时，fx在0,1上单调递增，在 1 1, a 上递减，在 1 ,2 a 上递增， 又因为 2 211 111 00,110,0 366 aa ffaf aa 所以fx在0,1上有且只有一个零点，在1,2上没有零点， 所以在0,2上有且只有只有一个零点. 综上： 当 1 0 2 a时，fx在0,2上有两个零点； 当 1 1 2 a时，fx在0,2上有且只有一个零点。
