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1、第 4 计关羽开门刀举成功 计名释义 关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀， “水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意 思？切者， 七刀也， 分者， 八刀也！ 再难的数学题， 经过这七刀、 八刀， 最后不就粉碎了吗！ 典例示范 例 1 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1 中，E、P 分别是 BC、A1D1 的中点， M、N 分别是 AE、 CD1 的中点， AD=AA1=a ，AB=2a. （）求证： MN 面 ADD1A1 ； （）求二面角PAED 的大小； （）求三棱锥P
2、DEN 的体积 . 分析这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2 倍， 这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2 个相等的正方体. 对于正方体，我们 该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌. 解取 D1C1 的中点 Q ，过 Q 和 MN 作平面 QRST. 显然， M、N 都在这平面里 . 易知 QN 和 SM 都平行于平面BCC1B1 MNBCC1B1MN 面 ADD1A1 （证毕） . 插语其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀 之功 . 以后的（）和（），都可转化到正方体里进行（从略）. 【例 2】 设 p0 是
3、一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px 交于相异两点A、B， 以线段 AB 为直径作圆H（H 为圆心） . （）试证：抛物线顶点在圆H 的圆周上； （）并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程 . 【分析】（） AB 是圆 H 的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（ 1） 证|OH|= 2 1 |AB|. (2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2 （3）证 AOB=90 ,即 OA OB，等 . 显然，利用向量知识证 OBOA ? =0,当为明智之举. 【解答】（）当AB x 轴时，直线AB 的方程为x=2p,代入 y2=2px;y2=4p2,y= 2p, |AB|=
4、|y1-y2|=4p.显然，满足 |OQ|= 2 1 |AB|, 此时 Q、H 重合 ,点 Q 在 H 上. 如直线 AB 与 x 轴不垂直，设直线AB：y=tan(x -2p), x= p y 2 2 ,代入： y=tan p y 2 2 -2ptan . 即 tan y2-2py- 4p2tan =0. 此方程有不同二实根y1y2, y1+y2= tan 2p ,y1y2=-4p2. OBOA ? =x1x2+y1y2= p y p y 22 2 2 2 1 ? +y1y2= 2 4 4 16 p p -4p2=0. OBOA ,故点 O 仍在以 AB 为直径的圆上 . 【分析】()为使圆
5、面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB 之 长的函数表达式， 直观上我们已可推测到当ABx 轴时，弦 AB 之长最短 (这就是论证方向)， 为此又有多种途径: (1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或 y）的一元二次方程，利用韦达定理写 出|AB|2 的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值. (2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t 的一元二次方程，利用韦达定理写出 |AB|2= （t1-t2）2 的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值. 这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB| 函数式
6、，只牵涉一个变量. 【解答】（）直线AB 的倾角为, 当 =90时， H 的半径为2p,SH=4p2. 当 90时，不妨设 0,2)，则 pp p p p yyyy p p p yyyy p yyxx AB 422 4 tan 1 sin 2 16 tan 4 sin 1 4)( tan 2 cos2 1 cos2 |)( | cos2 | cos | | 2 2 2 2 21 2 21 2121 2 2 2 121 ? 综上，|AB|min=4p, 当且仅当=90 时，（SH）min=4p2,相应的直线AB 的方程为： x=2p. 别解：由（ 1）知恒有 AOB=90 . |AB|2=| 2
7、2 |OBOA = 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 2x1x2+2p(x1+x2) 2x1x2+4p 21x x . y1y2=-4p2, x1x2= 2 2 2 2 1 4 22 p p y p y ? 于是 |AB|2 16p2,| AB|min=4p. 当且仅当 x1=x2=2p 时， SH=4 p2. 【点评】斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了. 对应训练 1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+ +anxn,nN+, 且a1,a2, ，an 构成一个数列an, 满足 f(1)=n2. (1)求数列 an 的通项公式，并求 1 lim n n n a
8、a 之值 . (2)证明 0f 3 1 1. 2.矩形 ABCD 中,AB=6,BC=2 3 ,沿对角线BD 将 ABD 向上折起， 使点 A 移到点 P,并使点 P在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上(如图所示 ). (1)求证 :PDPC; (2)求二面角PDB C 的大小 . 参考答案 1.分析：(1)an 的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1). (2)可以预见 :f 3 1 展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这 种数列的求和方法是“ 错项相减 ”. (3)f 3 1 的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性. 解答：(1)f
9、(1)=a1+a2+ +an=n2, 即 Sn=n2, an=Sn-Sn-1=2n-1, 1 lim n n n a a = n lim 1 1 2 1 2 lim 12 12 n n n n n ； (2)由(1)知 an=2n-1. f 3 1 =1 n n 3 1 )12( 3 1 5) 3 1 (3 3 1 3 2 132 3 1 ) 12( 3 1 )32( 3 1 3 3 1 1 3 1 3 1 nn nnf -: 132 3 1 )12( 3 1 3 1 3 1 2 3 1 1 3 1 3 2 nn nf f 3 1 = nn n 3 1 2 12 3 1 3 1 3 1 2 1
10、 12 = n n n 3 1 2 12 3 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 = nn n 3 1 2 12 3 1 1 2 1 2 1 1 =1- n n nn 3 1 1 3 12 1 3 1 2 1 1 设 g(x)= x x 3 1 ,g (x)=3-x+(x+1)3-xln3 (-1)= 0 3 )1(3ln1 x x . g(x) 是 R+上的减函数，从而g(n)是 N+上的减函数，g(n) max=g(1)=3 2 , 又当 n时 ,g(n) 0, n n 3 1 3 2 ,0 ,从而 f 3 1 1 , 3 1 . 2.分析 :图形经过翻折(或平移、旋转 )，只是位置改
11、变，而有关线段的长度、角度及原来的平 行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道. (1)为证 PDPC,须先证 PD平面 PBC,已有 PDPB(翻折前为AD AB), 还须 PDBC. (2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有 PO平面 BCD 于 O,且OCD,只须作 OMBD即可 . 解答 : (1)由条件知PO平面 BCD 于 O,且OCD,BCCD, BCPD(三垂线定理 ),但 PDPB,PD面 PBC,从而 PDPC. (2)作 OM BD 于 M，连接 PM,则 BDPM(三垂线定理 ), PMO 是二面角P BDC 的 平面角 , PB=6, PD=2 3 ,BD=4 3 ,PM= BD PBPD ? =3, 已证 PDPC,PC= 621236 22 PDCD , PO= 22 6 6232? CD PCPD . sinPMO= 3 22 ,PMO=arcsin 3 22 , 即所求二面角PDB C 的大小为arcsin 3 22 .
