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1、33 初中数学竞赛辅导资料 经验归纳法 甲内容提要 1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论， 它是一种不完全的归 纳法，也叫做经验归纳法。例如 由( 1)2 1 ， （1 ）31 ， （1 ）4 1 ， 归纳出 1 的奇次幂是1，而1 的偶次幂是 1 。 由两位数从10 到 99 共 90 个（9 10 ） ， 三位数从100 到 999 共 900 个（ 9 102） ， 四位数有 91039000 个（ 9103） ， 归纳出 n 位数共有910n-1 (个) 3由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+
2、7=4 2 推断出从1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明 朗化，必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或 否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归 纳法证明） 乙例题 例 1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点，12 第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了2 个交点，得123 第 4 条直线和前3 条直线都相交，增加了3 个交点，得123
3、第 5 条直线和前4 条直线都相交，增加了4 个交点，得1234 第 n 条直线和前n1 条直线都相交，增加了n 1 个交点 由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点1 23 n1（个） ， 这里 n2，其和可表示为1+（n+1） 2 1n ,即 2 )1(nn 个交点。 34 例 2符号 n！表示正整数从1 到 n 的連乘积，读作n 的阶乘。例如 5！ 12345。试比较3n与（ n+1） ！的大小（ n 是正整数） 解：当 n 1 时， 3n 3,（n1） ！ 1 22 当 n 2 时， 3n9，（n1） ！ 1236 当 n 3 时， 3n27,（n1） ！ 123424 当 n 4 时
4、， 3n81,（n1） ！ 12345120 当 n 5 时， 3n243,（n1） ！ 6！ 720 猜想其结论是： 当 n1，2，3 时，3n（n1） ！ ，当 n3 时 3n （ n1） ！ 。 例 3求适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3x2003的正整数解。 分析：这2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数 的值，我们采用经验归纳法从2 个， 3 个， 4 个直到发现规律为止。 解： x1+x2=x1x2的正整数解是 x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正
5、整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3x2003的正整数解为 x1=x2=x3 =x2001=1,x2002=2，x2003=2003。 丙练习 14 1 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有 个， n 位数有个。 2 十进制的两位数 21a a可记作 10a1a2,三位数
6、321 aaa记作 100a1+10a2+a3, 四位数 4321 aaaa记作，n 位数记作 3 由 132 3（ 12）2，132333（ 123）2，13233343 （） 2 ,13 152，1323 n3=( ) 2。 4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） 个110 1111 25 2222 个 （） 2； ； 12 1111 n个 2 2222 n个 （） 2。 位9 1111 位9 5655（） 2； n位n位 56551111（） 2 35 5 把自然数1 到 100 一个个地排下去：123 91011 99100 1 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数
7、字和是多少 6计算 1211 1 1312 1 1413 1 2019 1 （提示把每个分数写成两个分数的差） 7a 是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小 . 8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽 3 等分，把长8 等分，分成24 个 小长方形，那么这24 个长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。 本题如果改为把宽m 等分 ,长 n 等分 (m,n 都是大于 1 的自然数 )那么这 mn 个 长方形中， 两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有 个 9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分， 切成 64 个小正方体， 那么这 64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有 个，四面都不涂色的有个。 本题如果改为把长m 等分 ,宽 n 等分 ,高 p等分， （m,n,p 都是大于2 的自然数） 那么这 mnp 个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个， 一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。 10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不 带皮的有块。 11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。
