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1、33 初中数学竞赛辅导资料 经验归纳法 甲内容提要 1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论, 它是一种不完全的归 纳法,也叫做经验归纳法。例如 由( 1)2 1 , (1 )31 , (1 )4 1 , 归纳出 1 的奇次幂是1,而1 的偶次幂是 1 。 由两位数从10 到 99 共 90 个(9 10 ) , 三位数从100 到 999 共 900 个( 9 102) , 四位数有 91039000 个( 9103) , 归纳出 n 位数共有910n-1 (个) 3由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+
2、7=4 2 推断出从1 开始的 n 个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。 2.经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明 朗化,必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或 否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归 纳法证明) 乙例题 例 1平面内 n 条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点? 解:两条直线只有一个交点,12 第 3 条直线和前两条直线都相交,增加了2 个交点,得123 第 4 条直线和前3 条直线都相交,增加了3 个交点,得123
3、第 5 条直线和前4 条直线都相交,增加了4 个交点,得1234 第 n 条直线和前n1 条直线都相交,增加了n 1 个交点 由此断定 n 条直线两两相交,最多有交点1 23 n1(个) , 这里 n2,其和可表示为1+(n+1) 2 1n ,即 2 )1(nn 个交点。 34 例 2符号 n!表示正整数从1 到 n 的連乘积,读作n 的阶乘。例如 5! 12345。试比较3n与( n+1) !的大小( n 是正整数) 解:当 n 1 时, 3n 3,(n1) ! 1 22 当 n 2 时, 3n9,(n1) ! 1236 当 n 3 时, 3n27,(n1) ! 123424 当 n 4 时
4、, 3n81,(n1) ! 12345120 当 n 5 时, 3n243,(n1) ! 6! 720 猜想其结论是: 当 n1,2,3 时,3n(n1) ! ,当 n3 时 3n ( n1) ! 。 例 3求适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3x2003的正整数解。 分析:这2003 个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数 的值,我们采用经验归纳法从2 个, 3 个, 4 个直到发现规律为止。 解: x1+x2=x1x2的正整数解是 x1=x2=2 x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3 x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正
5、整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4 x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5 x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6 由此猜想结论是:适合等式x1+x2+x3 +x2003=x1x2x3x2003的正整数解为 x1=x2=x3 =x2001=1,x2002=2,x2003=2003。 丙练习 14 1 除以 3 余 1 的正整数中,一位数有个,二位数有个,三位数有 个, n 位数有个。 2 十进制的两位数 21a a可记作 10a1a2,三位数
6、321 aaa记作 100a1+10a2+a3, 四位数 4321 aaaa记作,n 位数记作 3 由 132 3( 12)2,132333( 123)2,13233343 () 2 ,13 152,1323 n3=( ) 2。 4 用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方) 个110 1111 25 2222 个 () 2; ; 12 1111 n个 2 2222 n个 () 2。 位9 1111 位9 5655() 2; n位n位 56551111() 2 35 5 把自然数1 到 100 一个个地排下去:123 91011 99100 1 这是一个几位数?这个数的各位上的各个数
7、字和是多少 6计算 1211 1 1312 1 1413 1 2019 1 (提示把每个分数写成两个分数的差) 7a 是正整数,试比较aa+1和(a+1)a的大小 . 8. 如图把长方形的四条边涂上红色,然 后把宽 3 等分,把长8 等分,分成24 个 小长方形,那么这24 个长方形中, 两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不着色的有个。 本题如果改为把宽m 等分 ,长 n 等分 (m,n 都是大于 1 的自然数 )那么这 mn 个 长方形中, 两边涂色的有个,一边涂色的有个,四边都不着色的有 个 9把表面涂有红色的正方体的各棱都4 等分, 切成 64 个小正方体, 那么这 64 个中,三面涂色的有个,两面涂色的有个,一面涂色的有 个,四面都不涂色的有个。 本题如果改为把长m 等分 ,宽 n 等分 ,高 p等分, (m,n,p 都是大于2 的自然数) 那么这 mnp 个正方体中,三面涂色的有个,两面涂色的有个, 一面涂色的有个,四面都不涂色的有个。 10一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成块,其中不 带皮的有块。 11已知两个正整数的积等于11112222,它们分别是,。