《高中数学必做100题选修1-1(20200816140842)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必做100题选修1-1(20200816140842)（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、073. 已知 4 : 22 3 x p, 22 :210(0)q xxmm , 若qp是的必要不充分条件，求实数m的取值 范围 . 解： p 是 q 必要不充分条件， qp，即 pq. 解 4 : 22 3 x p得210 x， 即：:210px. 解 22 :210q xxm 变形为(1)(1)0 xmxm， 解得11mxm， 即:11qmxm. 由pq，则 12 110 m m ，解得9m. 所以实数m的取值范围9m。 074. 点( , )M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线 25 : 4 lx的距离的比是常数 4 5 ，求 M 的轨迹 . 解：设d是点M到直线 25 : 4
2、lx的距离， 根据题意得， 点M的轨迹就是集合 4 5 MF PM d ， 由此得 22 (4)4 255 4 xy x 。 将上式两边平方，并化简， 得 22 925225xy。即 22 1 259 xy 。 所以， 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6 的 椭圆。 075. 双 曲 线 的 离 心 率 等 于 5 2 ， 且 与 椭 圆 22 1 94 xy 有公共焦点，求此双曲线的方程. 解： 椭圆 22 1 94 xy 焦点为(5,0)F， 根据题意得 双曲线的焦点为(5,0)F， 设双曲线的标准方程为 22 22 1 xy ab ，且有5c。 又由 5 2 c e a ，得2a
3、， 得 222 541bca， 所求双曲线的方程为 2 2 1 4 x y。 076. 倾斜角为 4 的直线l 经过抛物线 2 4yx的焦 点，且与抛物线相交于A、B 两点，求线段 AB 的长 . 解：设 1122 (,),(,)A xyB xy，,A B到准线的距离分别 为, AB dd， 由抛物线的定义可知 12 1,1 AB AFdxBFdx， 于是 12 2ABAFBFxx。 由已知得抛物线的焦点为(1,0)F， 斜率tan1 4 k， 所以直线AB方程为1yx。 将1yx代入方程 2 4yx， 得 2 (1)4xx，化简得 2 610 xx。 由求根公式得 12 32 2,322xx
4、 ， 于是 12 28ABxx 。 所以，线段AB 的长是 8。 077. 当从0到180变 化 时 ， 方 程 22 cos1xy表示的曲线的形状怎样变换？ 解：当0 时，cos01，方程 22 1xy表示圆 心在原点的单位圆。 当900 时，1cos0，方程 22 cos1xy表示圆心在原点的单位圆。 当90 时，cos900， 方程 2 1x，得1x表 示与y轴平行的两条直线。 当18090 时，cos0，方程 22 cos1xy表示焦点在x 轴上的双曲线。 当180 时，cos1801，方程 22 1xy表示 焦点在 x轴上的等轴双曲线。 078. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为5
5、2 米， 拱顶距离水面6.5 米. （1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱 桥所在抛物线的方程； （2）若一竹排上有一4 米宽 6 米高的大木箱， 问此 木排能否安全通过此桥？ 解： （1）设抛物线方程 2 2xpy. 由题意可知，抛物线过点(26, 6.5)， 代入抛物线方程，得 2 2613p， 解得52p， 所以抛物线方程为 2 104xy. （2）把2x代入，求得 1 26 y. 而 1 6.560.5 26 ，所以木排能安全通过此桥. 079. 已知椭圆C 的焦点分别为F1（2 2，0）和 F2（22，0） ，长轴长为6，设直线y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点 .
6、求： （1）线段 AB 的中点坐标；（2）弦 AB 的长 . 解：设椭圆C 的方程为 22 22 1 xy ab ，由题意a=3， c=22，于是 b= 22 ac=1. 椭圆 C 的方程为 2 9 x y21 联立方程组 2 2 2 1 9 yx x y ， 消 y 得 10 x236x 270， 因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆 有两个不同的交点， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1x2 18 5 ，故线 段 AB 的中点坐标为（ 9 1 , 5 5 ） 080. 在抛物线 2 4yx上求一点P，使得点P 到直 线:40l xy的距离最短 , 并求最短距离. 解：
7、设与直线:40lxy平行，且与抛物线 2 4yx相切的直线为0 xyk. 由 2 0 4 xyk yx ， 消 x 得 2 440yyk. 2 4160k， 解得1k，即切线为10 xy. 由 2 10 4 xy yx ，解得点(1,2)P. 最短距离 22 |41|3 2 2 11 d. 081. 点 M 是椭圆 22 1 6436 xy 上的一点， F1、F2是 左右焦点， F1MF2=60o，求 F1MF2的面积 . 解： 由 22 1 6436 xy ， 得 a=8， b=6， 22 2 7cab. 根据椭圆定义，有 12 |216MFMFa. 在 F1MF2中，由余弦定理，得到 22
8、2 12121212 |2| | cosF FMFMFMFMFF MF . 即 222 1212 (4 7)|2| | cos60MFMFMFMF F1 O F2 22 1212 2 1212 2 12 112 | | (|)3| | 163| | MFMFMFMF MFMFMFMF MFMF ， 解得 12 | |48MFMF. F1MF2的面积为： 1212 1 | |sin 2 1 48sin 6012 3 2 SMFMFF MF . 082.已知三点 P（5， 2） 、 1 F（ 6，0） 、 2 F（6，0）. （1）求以 1 F、 2 F为焦点且过点P 的椭圆的标准方 程； （2）
9、设点 P、 1 F、 2 F关于直线yx 的对称点分 别为P、 1 F、 2 F，求以 1 F、 2 F为焦点且过点P 的双曲线的标准方程。 解： （1）设所求椭圆方程为 22 22 1 xy ab (ab0), 其半焦距c=6， 2222 12 2112126 5aPFPF 3 5a,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy （2）点 P(5,2)、F1(-6,0) 、F2(6,0)关于直线 y=x 的 对称点分别为点P ，(2，5)、F 1 ，(0， -6)、F 2 ，(0，6). 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1(0,0) yx ab
10、ab ，由题意知，半焦距 c1=6， 112 2222 2 11212 4 5 aP FP F ， 1 2 5a,b12=c12-a12=36-20=16. 所以，所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 yx 083. 已知函数( ) x f xxe（ e为自然对数的底）. （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程. 解：( )( )(1) xx f xxefxex，因此有 （1）令( )01fxx，即函数( )f x的单调递 增区间是( 1,)； （2）因为(1)fe，(1)2fe， 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切
11、线方程为 2 (1)yee x，即20exye. 084. 设函数 321 ( )23 3 f xxxx. （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值. 解：f(x)=x2+4x3=(x 3)(x1), （1）由 f(x)0，解得： 1x3； 由 f(x)0，解得： x3， 则函数 f(x)的单调递增区间为（1, 3） ， 单调递减区间为（，1）和（ 3，+） . （2）由 f(x)=0，解得： x=1 或 x=3. 列表如下： x(， 1)1(1, 3)3(3,+ ) f(x)0+0 f(x) 单调递减 4 3 单调 递增 0 单调递 减 函数 f(x)的极大值为
12、0，极小值为 4 3 . 085.已知函数 2 6 ( ) ax f x xb 的图象在点 ( 1, ( 1)Mf处的切线方程为250 xy. （1）求函数( )yf x的解析式； （2）求函数( )yf x的单调区间 . 解： （1） 2 6 ( ) ax f x xb ， 2 22 ()2 (6) ( ) () a xbx ax fx xb . 又函数( )f x的图象在点( 1, ( 1)Mf处的切线 方程为 x+2y+5=0 ， 12( 1)50,f 1 ( 1)2,( 1). 2 ff即 2,3,ab解得(10,1)bb舍去 所求函数解析式为 2 26 ( ) 3 x f x x .
13、 （2） 2 22 2126 ( ). (3) xx fx x ( )0,fx令解得 12 32 3,32 3.xx 当32 3x或32 3x时，( )0;fx 当32 332 3x时，( )0.fx 2 26 ( ) 3 x f x x 在(,32 3)和(32 3,)内 是减函数，在(323,323)内是增函数 . 086. 已知 a 为实数， 2 ( )(4)()f xxxa， （1） 求导数 ( )fx； （2）若 ( 1)0f，求( )f x在2,2上的最大值 和最小值； （3）若( )f x在(, 2)和2,上都是增函 数，求 a 的取值范围 . 解： （1） 因为 2 ( )(4
14、)()f xxxa= 32 44xaxxa， 所以 2 ( )324fxxax. （2）由 ( 1)0f，得 1 2 a， 此时有 2 1 ( )(4)(), 2 f xxx 所以 2 ( )34fxxx 由 ( )0fx，得 4 3 x或1x,又因为 4509 ( ),( 1),( 2)0,(2)0 3272 ffff， 所以( )f x在2,2上的最大值为 9 2 ， 最小值为 50 27 . （3） 2 ( )324fxxax的图象为开口向上且 过点（ 0，-4）的抛物线 . 由条件得 ( 2)0,(2)0,ff即 480 840 a a ， 解得22a. 所以 a 的取值范围为2,2.
15、 087.用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个 无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形， 然后把四边翻转90 角，再焊接而成（如图），问 该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积 是多少 ? 解：设容器的高为x，容器的体积为V， 则 V=（90-2x） （48-2x）x， （0x0 得 x36 或 x10 ；令 V 0 得 10x36. 函数在 (0,10) 上递增，在(10,24) 上递减 . 当 x=10 时， V 有极大值(10)V=19600. 又(0)V=0，(24)V=0， 所以当 x=10 时， V 有最大值(10)V=19600cm3. 088.已知函数(
16、 )f x 32 xaxbxc 在 2 3 x与 1x时都取得极值， （1）求 a、b 的值与函数( )f x 的单调区间 . （2）若对1,2x时，不等式 2 ( )f xc 恒成立， 求 c 的取值范围 . 解： （1）( )f x 32 xaxbxc ， 2 ( )32fxxax b . 由 2 () 3 f 124 0 93 ab， (1) f320ab 得 a 1 2 ，b 2 2 ( )32(32)(1)fxxxxx，当 x 变化 时， ( )fx、( )f x的变化情况如下表： x 2 (,) 3 2 3 2 (,1) 3 1(1,) ( ) fx 00 ( )f x 极大值极小值 22 27 c 3 2 c 函数( )f x 的 递增区间是（， 2 3 ）和（ 1，） ； 递减区间是（ 2 3 ，1）. （2）( )f x x3 1 2 x22xc1,2x
