《高中数学必做100题选修1-1(20200816140842)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学必做100题选修1-1(20200816140842)(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、073. 已知 4 : 22 3 x p, 22 :210(0)q xxmm , 若qp是的必要不充分条件,求实数m的取值 范围 . 解: p 是 q 必要不充分条件, qp,即 pq. 解 4 : 22 3 x p得210 x, 即::210px. 解 22 :210q xxm 变形为(1)(1)0 xmxm, 解得11mxm, 即:11qmxm. 由pq,则 12 110 m m ,解得9m. 所以实数m的取值范围9m。 074. 点( , )M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线 25 : 4 lx的距离的比是常数 4 5 ,求 M 的轨迹 . 解:设d是点M到直线 25 : 4
2、lx的距离, 根据题意得, 点M的轨迹就是集合 4 5 MF PM d , 由此得 22 (4)4 255 4 xy x 。 将上式两边平方,并化简, 得 22 925225xy。即 22 1 259 xy 。 所以, 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6 的 椭圆。 075. 双 曲 线 的 离 心 率 等 于 5 2 , 且 与 椭 圆 22 1 94 xy 有公共焦点,求此双曲线的方程. 解: 椭圆 22 1 94 xy 焦点为(5,0)F, 根据题意得 双曲线的焦点为(5,0)F, 设双曲线的标准方程为 22 22 1 xy ab ,且有5c。 又由 5 2 c e a ,得2a
3、, 得 222 541bca, 所求双曲线的方程为 2 2 1 4 x y。 076. 倾斜角为 4 的直线l 经过抛物线 2 4yx的焦 点,且与抛物线相交于A、B 两点,求线段 AB 的长 . 解:设 1122 (,),(,)A xyB xy,,A B到准线的距离分别 为, AB dd, 由抛物线的定义可知 12 1,1 AB AFdxBFdx, 于是 12 2ABAFBFxx。 由已知得抛物线的焦点为(1,0)F, 斜率tan1 4 k, 所以直线AB方程为1yx。 将1yx代入方程 2 4yx, 得 2 (1)4xx,化简得 2 610 xx。 由求根公式得 12 32 2,322xx
4、 , 于是 12 28ABxx 。 所以,线段AB 的长是 8。 077. 当从0到180变 化 时 , 方 程 22 cos1xy表示的曲线的形状怎样变换? 解:当0 时,cos01,方程 22 1xy表示圆 心在原点的单位圆。 当900 时,1cos0,方程 22 cos1xy表示圆心在原点的单位圆。 当90 时,cos900, 方程 2 1x,得1x表 示与y轴平行的两条直线。 当18090 时,cos0,方程 22 cos1xy表示焦点在x 轴上的双曲线。 当180 时,cos1801,方程 22 1xy表示 焦点在 x轴上的等轴双曲线。 078. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为5
5、2 米, 拱顶距离水面6.5 米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系xoy,试求拱 桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一4 米宽 6 米高的大木箱, 问此 木排能否安全通过此桥? 解: (1)设抛物线方程 2 2xpy. 由题意可知,抛物线过点(26, 6.5), 代入抛物线方程,得 2 2613p, 解得52p, 所以抛物线方程为 2 104xy. (2)把2x代入,求得 1 26 y. 而 1 6.560.5 26 ,所以木排能安全通过此桥. 079. 已知椭圆C 的焦点分别为F1(2 2,0)和 F2(22,0) ,长轴长为6,设直线y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点 .
6、求: (1)线段 AB 的中点坐标;(2)弦 AB 的长 . 解:设椭圆C 的方程为 22 22 1 xy ab ,由题意a=3, c=22,于是 b= 22 ac=1. 椭圆 C 的方程为 2 9 x y21 联立方程组 2 2 2 1 9 yx x y , 消 y 得 10 x236x 270, 因为该二次方程的判别式0,所以直线与椭圆 有两个不同的交点, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1x2 18 5 ,故线 段 AB 的中点坐标为( 9 1 , 5 5 ) 080. 在抛物线 2 4yx上求一点P,使得点P 到直 线:40l xy的距离最短 , 并求最短距离. 解:
7、设与直线:40lxy平行,且与抛物线 2 4yx相切的直线为0 xyk. 由 2 0 4 xyk yx , 消 x 得 2 440yyk. 2 4160k, 解得1k,即切线为10 xy. 由 2 10 4 xy yx ,解得点(1,2)P. 最短距离 22 |41|3 2 2 11 d. 081. 点 M 是椭圆 22 1 6436 xy 上的一点, F1、F2是 左右焦点, F1MF2=60o,求 F1MF2的面积 . 解: 由 22 1 6436 xy , 得 a=8, b=6, 22 2 7cab. 根据椭圆定义,有 12 |216MFMFa. 在 F1MF2中,由余弦定理,得到 22
8、2 12121212 |2| | cosF FMFMFMFMFF MF . 即 222 1212 (4 7)|2| | cos60MFMFMFMF F1 O F2 22 1212 2 1212 2 12 112 | | (|)3| | 163| | MFMFMFMF MFMFMFMF MFMF , 解得 12 | |48MFMF. F1MF2的面积为: 1212 1 | |sin 2 1 48sin 6012 3 2 SMFMFF MF . 082.已知三点 P(5, 2) 、 1 F( 6,0) 、 2 F(6,0). (1)求以 1 F、 2 F为焦点且过点P 的椭圆的标准方 程; (2)
9、设点 P、 1 F、 2 F关于直线yx 的对称点分 别为P、 1 F、 2 F,求以 1 F、 2 F为焦点且过点P 的双曲线的标准方程。 解: (1)设所求椭圆方程为 22 22 1 xy ab (ab0), 其半焦距c=6, 2222 12 2112126 5aPFPF 3 5a,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为 22 1 459 xy (2)点 P(5,2)、F1(-6,0) 、F2(6,0)关于直线 y=x 的 对称点分别为点P ,(2,5)、F 1 ,(0, -6)、F 2 ,(0,6). 设所求双曲线的标准方程为 22 11 22 11 1(0,0) yx ab
10、ab ,由题意知,半焦距 c1=6, 112 2222 2 11212 4 5 aP FP F , 1 2 5a,b12=c12-a12=36-20=16. 所以,所求双曲线的标准方程为 22 1 2016 yx 083. 已知函数( ) x f xxe( e为自然对数的底). (1)求函数( )f x的单调递增区间; (2)求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程. 解:( )( )(1) xx f xxefxex,因此有 (1)令( )01fxx,即函数( )f x的单调递 增区间是( 1,); (2)因为(1)fe,(1)2fe, 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切
11、线方程为 2 (1)yee x,即20exye. 084. 设函数 321 ( )23 3 f xxxx. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求函数f(x)的极大值和极小值. 解:f(x)=x2+4x3=(x 3)(x1), (1)由 f(x)0,解得: 1x3; 由 f(x)0,解得: x3, 则函数 f(x)的单调递增区间为(1, 3) , 单调递减区间为(,1)和( 3,+) . (2)由 f(x)=0,解得: x=1 或 x=3. 列表如下: x(, 1)1(1, 3)3(3,+ ) f(x)0+0 f(x) 单调递减 4 3 单调 递增 0 单调递 减 函数 f(x)的极大值为
12、0,极小值为 4 3 . 085.已知函数 2 6 ( ) ax f x xb 的图象在点 ( 1, ( 1)Mf处的切线方程为250 xy. (1)求函数( )yf x的解析式; (2)求函数( )yf x的单调区间 . 解: (1) 2 6 ( ) ax f x xb , 2 22 ()2 (6) ( ) () a xbx ax fx xb . 又函数( )f x的图象在点( 1, ( 1)Mf处的切线 方程为 x+2y+5=0 , 12( 1)50,f 1 ( 1)2,( 1). 2 ff即 2,3,ab解得(10,1)bb舍去 所求函数解析式为 2 26 ( ) 3 x f x x .
13、 (2) 2 22 2126 ( ). (3) xx fx x ( )0,fx令解得 12 32 3,32 3.xx 当32 3x或32 3x时,( )0;fx 当32 332 3x时,( )0.fx 2 26 ( ) 3 x f x x 在(,32 3)和(32 3,)内 是减函数,在(323,323)内是增函数 . 086. 已知 a 为实数, 2 ( )(4)()f xxxa, (1) 求导数 ( )fx; (2)若 ( 1)0f,求( )f x在2,2上的最大值 和最小值; (3)若( )f x在(, 2)和2,上都是增函 数,求 a 的取值范围 . 解: (1) 因为 2 ( )(4
14、)()f xxxa= 32 44xaxxa, 所以 2 ( )324fxxax. (2)由 ( 1)0f,得 1 2 a, 此时有 2 1 ( )(4)(), 2 f xxx 所以 2 ( )34fxxx 由 ( )0fx,得 4 3 x或1x,又因为 4509 ( ),( 1),( 2)0,(2)0 3272 ffff, 所以( )f x在2,2上的最大值为 9 2 , 最小值为 50 27 . (3) 2 ( )324fxxax的图象为开口向上且 过点( 0,-4)的抛物线 . 由条件得 ( 2)0,(2)0,ff即 480 840 a a , 解得22a. 所以 a 的取值范围为2,2.
15、 087.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个 无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形, 然后把四边翻转90 角,再焊接而成(如图),问 该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积 是多少 ? 解:设容器的高为x,容器的体积为V, 则 V=(90-2x) (48-2x)x, (0x0 得 x36 或 x10 ;令 V 0 得 10x36. 函数在 (0,10) 上递增,在(10,24) 上递减 . 当 x=10 时, V 有极大值(10)V=19600. 又(0)V=0,(24)V=0, 所以当 x=10 时, V 有最大值(10)V=19600cm3. 088.已知函数(
16、 )f x 32 xaxbxc 在 2 3 x与 1x时都取得极值, (1)求 a、b 的值与函数( )f x 的单调区间 . (2)若对1,2x时,不等式 2 ( )f xc 恒成立, 求 c 的取值范围 . 解: (1)( )f x 32 xaxbxc , 2 ( )32fxxax b . 由 2 () 3 f 124 0 93 ab, (1) f320ab 得 a 1 2 ,b 2 2 ( )32(32)(1)fxxxxx,当 x 变化 时, ( )fx、( )f x的变化情况如下表: x 2 (,) 3 2 3 2 (,1) 3 1(1,) ( ) fx 00 ( )f x 极大值极小值 22 27 c 3 2 c 函数( )f x 的 递增区间是(, 2 3 )和( 1,) ; 递减区间是( 2 3 ,1). (2)( )f x x3 1 2 x22xc1,2x