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1、第 1 页 共 9 页 2021 届高三数学（文）“大题精练” 17.已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为等比数列 n a的前n项和，若 2 2 3 a， 346 2a a a . (1)n St恒成立，求t的最小值；(2)设n n n b a ，求数列 n b的前n项和 nT. 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识， 某校开展了 “ 冰 雪答题王 ” 冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100 分）分 为 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100 得到如
2、图所示的频率分布直方图 （1）求a的值； （2）估计这100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在抽取的100 名学生中，规定：比赛成绩不低于80 分为 “ 优秀 ” ，比赛成绩低于80 分为 “ 非优秀 ” 请 将下面的22 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” ？ 优秀非优秀合计 男生40 女生50 第 2 页 共 9 页 合计100 参考公式及数据： 2 2() , ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 2 0 ()P KK0.100.050.0250.0100.0050.001
3、 0 K2.7063.8415.0246.6357.87910.828 19.如图，在三棱锥PABC中， 2 2ABBC ，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明：PO平面ABC； （ 2）若点 M 在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 20.已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为,0Aa，,0B a，点 P是椭圆C上异于 A、 B 的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且 12 1 3 kk，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C的离心率； （2）过右焦点F且倾斜角为30 的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记ABM ，AB
4、N的面积 第 3 页 共 9 页 为 1 S、 2 S ，求 12 SS的值 . 21在直角坐标系 xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt （t为参数），以原点O为极点，以 x轴正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 2cos 4 . （1）判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系； （2）设点,Mx y为曲线 2 C上任意一点，求2xy的最大值 . 22已知实数正数x, y 满足 1xy （1）解关于x 的不等式 5 2 2 xyxy； （ 2）证明： 22 11 119 xy 第 4 页 共 9 页 2021 届高三数学（文）“大题精练”（答案解析）
5、 17.已知等比数列 n a的各项均为正数， n S 为等比数列 n a的前n项和，若2 2 3 a ， 3462a a a . (1)nSt恒成立，求t的最小值；(2)设n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解】 (1)因为 n a为等比数列，所以 3416 a aa a，所以 341662a aa aa ， 6 0a，所以 1 2a， 又 2 2 3 a ，所以 1 3 q，所以 1 2 1 3 1 3 13 1 3 1 3 n n n S ， 因为 nSt恒成立，所以3t，即t的最小值是3. (2)由(1)可知 2 2 1 2 3 n n n aaq，所以 1 3
6、2 n n n b ， 故 011 1 3233 222 n n n T 1 12 13 1 3233 3 2222 n n n n n T 1 -得： 011 13333 2 2222 nn n n T， 1 0 3 13 1 313 22132 n n n 整理得， 21 31 8 n n n T 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识， 某校开展了 “ 冰 雪答题王 ” 冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100 分）分 为 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,1
7、00 得到如图所示的频率分布直方图 （1）求a的值； 第 5 页 共 9 页 （2）估计这100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在抽取的100 名学生中，规定：比赛成绩不低于80 分为 “ 优秀 ” ，比赛成绩低于80 分为 “ 非优秀 ” 请 将下面的22 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” ？ 优秀非优秀合计 男生40 女生50 合计100 参考公式及数据： 2 2() , ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 2 0 ()P KK0.100.050.0250.0100.00
8、50.001 0 K2.7063.8415.0246.6357.87910.828 【解】（1）由题可得0.0050.0100.0200.0300.010101a，解得0.025a （2）平均成绩为： 45 0.0555 0.165 0.275 0.385 0.2595 0.174 （3）由（ 2）知，在抽取的 100名学生中，比赛成绩优秀的有100 0.3535人，由此可得完整的2 2列 联表： 优秀非优秀合计 男生104050 女生252550 第 6 页 共 9 页 合计3565100 2 K 的观测值 2 10010252540900 9.89010.828 3565505091 k
9、， 没有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” 19.如图，在三棱锥 PABC中，2 2ABBC ，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明： PO 平面ABC； （ 2）若点 M 在棱BC上，且 2MCMB，求点C到平面POM 的距离 【解】（1）因为 AP=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所以OPAC，且 OP= 2 3 连结 OB因为 AB=BC= 2 2 AC ，所以 ABC 为等腰直角三角形，且OBAC，OB= 1 2 AC=2 由 222 OPOBPB 知， OPOB由 OPOB，OP AC 知 PO平面 ABC （2）作 CHOM，垂足为H又由（
10、1）可得 OPCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点C 到平面 POM 的距离 由题设可知OC= 1 2 AC=2，CM= 2 3 BC= 42 3 ， ACB=45 所以 OM= 25 3 ，CH= sinOC MCACB OM = 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4 5 5 20.已知椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为,0Aa，,0B a，点 P是椭圆C上异于 A、 第 7 页 共 9 页 B 的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为 1 k、 2 k，且 12 1 3 kk，椭圆的焦距长为4. （1）求椭圆C的离心率； （2）过右
11、焦点F且倾斜角为30 的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记ABM ，ABN的面积 为 1 S、 2S ，求12SS的值 . 【解】（1）设点 000 ,P xyxa ，则 22 00 22 1 xy ab ， 2 000 12 22 000 1 3 yyy kk xaxaxa ， 联立得 2222 0 30baxa， 22 03aabx， 222 2 22 12 1 33 ab e aa c ， 6 3 e. （2）由题意知，24c，即2c，由（ 1）知， 22 3ab= ， 2222 4abcb， 2 2b ， 2 6a ，椭圆C的方程为： 22 1 62 xy ，由已知得l： 3 2 3
12、yx. 联立 22 3 2 3 1 62 yx xy ，可得 2 210 xx .设 11,Mx y ， 22,N xy ，根据韦达定理，得 122xx ， 于是 121212 134 2 663 233 SSyyxx 2 362 2 3 . 21.在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt （t为参数），以原点O为极点，以x轴正半 轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 4 . （1）判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系； （2）设点,Mx y为曲线 2 C上任意一点，求2xy的最大值 . 第 8 页 共 9 页 【解】（1）消去t得 1
13、 C的普通方程为10 xy，由 2cos 4 得2cos2 sin， 2 2 cos2 sin，即 22 220 xxyy，化为标准方程为 22 22 1 22 xy ， 即曲线 2 C是以 22 , 22 为圆心，半径为1 的圆，圆心到直线 10 xy 的距离 22 1 22 2 1 2 2 d ，故曲线 1 C与曲线 2 C相交 . （2）由,Mx y为曲线 2 C上任意一点，可设 2 cos 2 2 sin 2 x y ， 则 22 22cossin5 sin 22 xy ，其中tan2， 2xy的最大值是 2 5 2 . 22.已知实数正数x, y 满足 1xy （1）解关于x 的不等
14、式 5 2 2 xyxy； （ 2）证明： 22 11 119 xy 【解】（1）1,0,0 xyxy且 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx ，解得 1 1 6 x，所以不等式的解集为 1 ,1 6 第 9 页 共 9 页 （2）解法 1：1,xy且0,0 xy， 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx . 当且仅当 1 2 xy时，等号成立. 解法 2：1,xy且 0,0 xy ， 22 2222 1111 11 xy xyxy 22 1111xxyy xy 22 11x yy x xy 1xyxy xy 2 1 xy 2 2 19 2 xy ， 当且仅当 1 2 xy时，等号成立.
