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1、第 1 页 共 9 页 2021 届高三数学(文)“大题精练” 17.已知等比数列 n a的各项均为正数, n S为等比数列 n a的前n项和,若 2 2 3 a, 346 2a a a . (1)n St恒成立,求t的最小值;(2)设n n n b a ,求数列 n b的前n项和 nT. 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会,普及冬奥知识, 某校开展了 “ 冰 雪答题王 ” 冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100 分)分 为 6 组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100 得到如
2、图所示的频率分布直方图 (1)求a的值; (2)估计这100 名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)在抽取的100 名学生中,规定:比赛成绩不低于80 分为 “ 优秀 ” ,比赛成绩低于80 分为 “ 非优秀 ” 请 将下面的22 列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” ? 优秀非优秀合计 男生40 女生50 第 2 页 共 9 页 合计100 参考公式及数据: 2 2() , ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 2 0 ()P KK0.100.050.0250.0100.0050.001
3、 0 K2.7063.8415.0246.6357.87910.828 19.如图,在三棱锥PABC中, 2 2ABBC ,4PAPBPCAC, O为AC的中点 (1)证明:PO平面ABC; ( 2)若点 M 在棱BC上,且2MCMB,求点C到平面POM的距离 20.已知椭圆C: 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为,0Aa,,0B a,点 P是椭圆C上异于 A、 B 的任意一点,设直线PA,PB的斜率分别为 1 k、 2 k,且 12 1 3 kk,椭圆的焦距长为4. (1)求椭圆C的离心率; (2)过右焦点F且倾斜角为30 的直线l交椭圆C于M、N两点,分别记ABM ,AB
4、N的面积 第 3 页 共 9 页 为 1 S、 2 S ,求 12 SS的值 . 21在直角坐标系 xOy中,曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt (t为参数),以原点O为极点,以 x轴正 半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C 的极坐标方程为 2cos 4 . (1)判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系; (2)设点,Mx y为曲线 2 C上任意一点,求2xy的最大值 . 22已知实数正数x, y 满足 1xy (1)解关于x 的不等式 5 2 2 xyxy; ( 2)证明: 22 11 119 xy 第 4 页 共 9 页 2021 届高三数学(文)“大题精练”(答案解析)
5、 17.已知等比数列 n a的各项均为正数, n S 为等比数列 n a的前n项和,若2 2 3 a , 3462a a a . (1)nSt恒成立,求t的最小值;(2)设n n n b a ,求数列 n b的前n项和 n T. 【解】 (1)因为 n a为等比数列,所以 3416 a aa a,所以 341662a aa aa , 6 0a,所以 1 2a, 又 2 2 3 a ,所以 1 3 q,所以 1 2 1 3 1 3 13 1 3 1 3 n n n S , 因为 nSt恒成立,所以3t,即t的最小值是3. (2)由(1)可知 2 2 1 2 3 n n n aaq,所以 1 3
6、2 n n n b , 故 011 1 3233 222 n n n T 1 12 13 1 3233 3 2222 n n n n n T 1 -得: 011 13333 2 2222 nn n n T, 1 0 3 13 1 313 22132 n n n 整理得, 21 31 8 n n n T 18.为迎接 2022 年北京冬季奥运会,普及冬奥知识, 某校开展了 “ 冰 雪答题王 ” 冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生 中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100 分)分 为 6 组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,1
7、00 得到如图所示的频率分布直方图 (1)求a的值; 第 5 页 共 9 页 (2)估计这100 名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)在抽取的100 名学生中,规定:比赛成绩不低于80 分为 “ 优秀 ” ,比赛成绩低于80 分为 “ 非优秀 ” 请 将下面的22 列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” ? 优秀非优秀合计 男生40 女生50 合计100 参考公式及数据: 2 2() , ()()()() n adbc Knabcd ab cdac bd 2 0 ()P KK0.100.050.0250.0100.00
8、50.001 0 K2.7063.8415.0246.6357.87910.828 【解】(1)由题可得0.0050.0100.0200.0300.010101a,解得0.025a (2)平均成绩为: 45 0.0555 0.165 0.275 0.385 0.2595 0.174 (3)由( 2)知,在抽取的 100名学生中,比赛成绩优秀的有100 0.3535人,由此可得完整的2 2列 联表: 优秀非优秀合计 男生104050 女生252550 第 6 页 共 9 页 合计3565100 2 K 的观测值 2 10010252540900 9.89010.828 3565505091 k
9、, 没有99.9%的把握认为 “ 比赛成绩是否优秀与性别有关” 19.如图,在三棱锥 PABC中,2 2ABBC ,4PAPBPCAC, O为AC的中点 (1)证明: PO 平面ABC; ( 2)若点 M 在棱BC上,且 2MCMB,求点C到平面POM 的距离 【解】(1)因为 AP=CP=AC=4, O 为 AC 的中点,所以OPAC,且 OP= 2 3 连结 OB因为 AB=BC= 2 2 AC ,所以 ABC 为等腰直角三角形,且OBAC,OB= 1 2 AC=2 由 222 OPOBPB 知, OPOB由 OPOB,OP AC 知 PO平面 ABC (2)作 CHOM,垂足为H又由(
10、1)可得 OPCH,所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点C 到平面 POM 的距离 由题设可知OC= 1 2 AC=2,CM= 2 3 BC= 42 3 , ACB=45 所以 OM= 25 3 ,CH= sinOC MCACB OM = 4 5 5 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4 5 5 20.已知椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的左右顶点分别为,0Aa,,0B a,点 P是椭圆C上异于 A、 第 7 页 共 9 页 B 的任意一点,设直线PA,PB的斜率分别为 1 k、 2 k,且 12 1 3 kk,椭圆的焦距长为4. (1)求椭圆C的离心率; (2)过右
11、焦点F且倾斜角为30 的直线l交椭圆C于M、N两点,分别记ABM ,ABN的面积 为 1 S、 2S ,求12SS的值 . 【解】(1)设点 000 ,P xyxa ,则 22 00 22 1 xy ab , 2 000 12 22 000 1 3 yyy kk xaxaxa , 联立得 2222 0 30baxa, 22 03aabx, 222 2 22 12 1 33 ab e aa c , 6 3 e. (2)由题意知,24c,即2c,由( 1)知, 22 3ab= , 2222 4abcb, 2 2b , 2 6a ,椭圆C的方程为: 22 1 62 xy ,由已知得l: 3 2 3
12、yx. 联立 22 3 2 3 1 62 yx xy ,可得 2 210 xx .设 11,Mx y , 22,N xy ,根据韦达定理,得 122xx , 于是 121212 134 2 663 233 SSyyxx 2 362 2 3 . 21.在直角坐标系xOy中,曲线 1 C的参数方程为 22 12 xt yt (t为参数),以原点O为极点,以x轴正半 轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2 C的极坐标方程为 2cos 4 . (1)判断曲线 1 C与曲线 2 C的位置关系; (2)设点,Mx y为曲线 2 C上任意一点,求2xy的最大值 . 第 8 页 共 9 页 【解】(1)消去t得 1
13、 C的普通方程为10 xy,由 2cos 4 得2cos2 sin, 2 2 cos2 sin,即 22 220 xxyy,化为标准方程为 22 22 1 22 xy , 即曲线 2 C是以 22 , 22 为圆心,半径为1 的圆,圆心到直线 10 xy 的距离 22 1 22 2 1 2 2 d ,故曲线 1 C与曲线 2 C相交 . (2)由,Mx y为曲线 2 C上任意一点,可设 2 cos 2 2 sin 2 x y , 则 22 22cossin5 sin 22 xy ,其中tan2, 2xy的最大值是 2 5 2 . 22.已知实数正数x, y 满足 1xy (1)解关于x 的不等
14、式 5 2 2 xyxy; ( 2)证明: 22 11 119 xy 【解】(1)1,0,0 xyxy且 01 5 2 5 2221 2 x xyxy xx 01 01 111 2121 222 x x xxxxx ,解得 1 1 6 x,所以不等式的解集为 1 ,1 6 第 9 页 共 9 页 (2)解法 1:1,xy且0,0 xy, 22 22 2222 11 11 xyxxyy xyxy 22 22 22xyyxyx xy 22 22 22yyxx xxyy 22 5 xy yx 22 259 xy yx . 当且仅当 1 2 xy时,等号成立. 解法 2:1,xy且 0,0 xy , 22 2222 1111 11 xy xyxy 22 1111xxyy xy 22 11x yy x xy 1xyxy xy 2 1 xy 2 2 19 2 xy , 当且仅当 1 2 xy时,等号成立.