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1、1 初中数学竞赛辅导资料 倍数约数 甲内容提要 1 两个整数A 和 B(B0) ,如果 B 能整除A(记作B A) ,那么 A 叫做 B 的倍数, B 叫做 A 的约数。例如315,15 是 3 的倍数, 3 是 15 的 约数。 2 因为 0 除以非 0 的任何数都得0,所以 0 被非 0 整数整除。 0 是任何 非 0 整数的倍数, 非 0 整数都是0 的约数。 如 0 是 7 的倍数, 7 是 0 的约数。 3 整数 A(A0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0, A, 2A,都是A 的倍数,例如5 的倍数有 5, 10,。 4 整数 A(A0)的约数是有限个的,并且也是以互
2、为相反数成对出现 的,其中必包括1 和 A。例如 6 的约数是 1, 2, 3, 6。 5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公 倍数和最犬的公约数。 6 公约数只有1 的两个正整数叫做互质数(例如15 与 28 互质) 。 7 在有余数的除法中, 被除数除数商数余数若用字母表示可记作: ABQR,当 A,B,Q,R 都是整数且B0 时, AR 能被 B 整除 例如 23372则 232 能被 3 整除。 乙例题 例 1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数, 从中总结出规律加以 应用: 2,22, 23, 24,3,32, 33,34,23,223,2232。 解:
3、列表如下 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 2 1,2 23 1,3 22 3 1,2, 3,6 4 22 1,2,4 332 1,3,32 3223 1,2,3, 4,6,12 6 23 1,2, 4,8 433 1,3, 32, 33 42232 1,2,3, 4,6,9, 12,18,36 9 24 1,2,4, 8,16 534 1,3,32, 33, 34 5 其规律是:设Aambn (a,b 是质数 ,m,n 是正整数 ) 那么合数A 的正约数的个是(m+1)(n+1) 2 例如求 360 的正约数的个数 解:分解质因数
4、:36023325, 360 的正约数的个数是(31)( 21)( 11) 24(个) 例 2 用分解质因数的方法求24, 90 最大公约数和最小公倍数 解: 24233,902325 最大公约数是2 3,记作( 24,90) 6 最小公倍数是23325360,记作 24,90=360 例 3 己知 32,44 除以正整数N 有相同的余数2,求 N 解: 322,442 都能被 N 整除, N 是 30,42 的公约数 ( 30,42) 6,而 6的正约数有1,2,3, 6 经检验 1 和 2 不合题意, N6,3 例 4 一个数被 10 余 9,被 9 除余 8,被 8 除余 7,求适合条件
5、的最小正整数 分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8 整除 ,所以所求的 数是 10,9,8 的最小公倍数减去1。 解:10,9,8=360, 所以所求的数是359 丙练习 2 1,12 的正约数有 _,16 的所有约数是 _ 2,分解质因数300_,300 的正约数的个数是_ 3,用分解质因数的方法求20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4,一个三位数能被7,9,11 整除,这个三位数是_ 5,能同时被3, 5, 11 整除的最小四位数是_最大三位数是 _ 6,己知 14 和 23 各除以正整数A 有相同的余数2,则 A _ 7,写出能被2 整除,且有约数5,又是 3的倍数的所有两位数。答_ 8,一个长方形的房间长1.35 丈, 宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺 满,问正方形最大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种 规格的正方形瓷砖适合? 9,一条长阶梯,如果每步跨2 阶,那么最后剩1 阶,如果每步跨3 阶, 那么最后剩2 阶,如果每步跨4 阶,那么最后剩3 阶,如果每步跨5 阶,那么最后剩4 阶,如果每步跨6 阶,那么最后剩5 阶,只有每步 跨 7 阶,才能正好走完不剩一阶,这阶梯最少有几阶?