《2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点专题二次函数综合题型 二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题， 解答与动点有关的函数探究问题，通常需要把问题拆开，分清动点在不同位置运动，或不同时间段运动时 对应的函数关系式，进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质，以及 分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。解题时要特别注意把握题目中的“ 动中有变 (图形的变化 )、 变中有静 (特殊三角形或四边形的性质及其数学思想) ” 的内在规律并注意挖掘隐含条件，综合运用数学知识 解决问题。此类问题的考查形式通常为解答题，解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况
2、。 二次函数综合题型有以下三种常见题型: 题型一：二次函数与线段最值问题； 题型二：二次函数与图形面积问题； 题型三：二次函数与特殊三角形的存在性问题； 题型四：二次函数与特殊四边形的存在性问题。 考向 3二次函数与特殊三角形的存在性问题 例： （2019 ? 梅江区期末）如图1，已知抛物线 2 3(0)yaxbxa=+1与x轴交于点(1,0)A和点(3,0)B -，与y 轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如图l，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此 时E点的坐标； （3）如图 2，在x轴上是否存在一点D使得ACDD为等腰三角形？若存在
3、，请求出所有符合条件的点D的 坐标；若不存在，请说明理由 【解析】（1）将点(1,0)A，(3,0)B -代入 2 3yaxbx=+，得， 30 9330 ab ab + +=? ? ? -+= ? ? ，解得， 1 2 a b = - ? ? ? = - ? ? ， 抛物线表达式为 2 23yxx= -+； （2）如图 1， 过点E作EFx轴于点F， 设(E a， 2 23)(30)aaa-+-Q，当 3 2 m =时，S取最大值 9 4 ， 3 ( 2 P，3)； （3）存在，理由如下：如图21-， 当90CPDD=时， 90CODODPCPDD= D= D=Q， 四边形CODP为矩形，3
4、PDCO=， 将3y =代入直线26yx= -+，得， 3 2 x =， 3 ( 2 P，3)； 如图22-， 当90PCDD=时，3OC =Q，ODm=， 2222 9CDOCODm=+=+， / /PDOCQ，PDCOCDD= D，coscosPDCOCDD=D， DCOC PDDC =， 2 DCPD OC=g， 2 93(26)mm+=-+， 解得， 1 332m = -（舍去）， 2 332m = -+，(33 2P -+，1262)-， 当90PDCD=时，PDxQ轴，不存在， 综上所述，点P的坐标为 3 ( 2 ，3)或(33 2-+，126 2)- 3. （2019 ?香洲区校
5、级模拟）如图，抛物线的顶点(P m，1)(0)m，与y轴的交点 2 (0,1)Cm + （1）求抛物线的解析式（用含m的式子表示） （2）点( ,)N x y在该抛物线上，NH 直线 3 4 y =于点H，点 5 (,) 4 M m且60NMHD= 求证：MNHD是等边三角形； 当点O、P、N在同一直线上时，求m的值 【解析】设抛物线解析式是 2 ()1(0)ya xma=-+1， 将 2 (0,1)Cm +代入，得 22 (0)11amm-+=+解得1a = 故该抛物线解析式是： 2 ()1yxm=-+； （2）根据题意知， 3 4 NHy=- 22225525393 ()()1 42162
6、164 NMxmyyyyyyy=-+-=-+-+=-+=- 则NMNH= 又因为60NMHD=，所以MNHD是等边三角形； 由知，MNHD是等边三角形则 13 () 24 MN yy=-，即 513 () 424 N y=-故 7 4 N y= 由于点 7 ( ,) 4 N x在抛物线 2 ()1yxm=-+上， 27 ()1 4 xm-+= 所以点N的坐标是(x， 2 ()1)xm-+ 设直线OP的解析式是(0)ykx k=1 把(P m，1)(0)m代入，得1mk =解得 1 k m = 故该直线方程是 x y m = 把(N x， 2 ()1)xm-+代入，得 2 ()1 x xm m
7、-+= 联立方程组，解得 2 3 3 m= 4. （2019?汕头市二模）如图，二次函数 2 1 yxbxc=+与 2 2 ()yxcxb bc=+的图象相交于点A，分别与 y轴相交于点C，B，连接AB、AC （1）过点(1,0)作直线l，判断点A与直线l的位置关系，并说明理由 （2）当A、C两点是二次函数 2 1 yxbxc=+图象上的对称点时，求b的值 （3）当ABCD是等边三角形时，求点B的坐标 【解析】（1）联立 1 y、 2 y并解得：1x =，故点(1,1)Abc+，故直线l过点A； （2）由题意得：点B、C的坐标分别为(0, )b、(0, )c， AQ、C两点是二次函数 2 1
8、yxbxc=+图象上的对称点，故点A、C的纵坐标相同， 即：1bcc+=，解得：1b = -； （3）如下图所示，过等边三角形的点A作AHBC， 则点(0,) 2 bc H + ，点(1,1)Abc+， 则1AH =，则 3 tan1tan30 3 HBAHHAB=?窗=， 则 3 23 bc HBb + =-=，而1 2 bc bc + =+， 解得： 33 3 b + = -，故点 33 (0,) 3 B + - 考向 4二次函数与特殊四边形的存在性问题 例： （2019?越秀区校级一模）如图1，抛物线 2 1: 2Cyaxbx=+-与直线 11 : 22 lyx= -交于x轴上的一点A，
9、 和另一点(3, )Bn （1）求抛物线 1C的解析式； （2）点P是抛物线 1 C上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点）PMAB于点M， / /PNy轴交AB于点N，求MN的最大值； （3）如图 2，将抛物线 1 C绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线 2 C，已知抛物线 2 C的顶点E在第 一象限的抛物线 1 C上，且抛持线 2 C与抛物线 1 C交于点D， 过点D作/ /DFx轴交抛物线 2 C于点F， 过点E作 / /EGx轴交抛物线 1 C于点G，是否存在这样的抛物线 2 C，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的 横坐标；若不存在，请说明理由 【解析】
10、（1）直线 11 : 22 lyx= -交x轴于点A 11 0 22 x-=，解得：1x = -(1,0)A - Q点(3, )Bn在直线l上 11 32 22 n = - -= -(3,2)B- Q抛物线 2 1:2Cyaxbx=+-经过点A、B 20 9322 ab ab - -= ? ? ? +-= - ? ? 解得： 1 2 3 2 a b ? ? = ? ? ? ? ? = - ? ? ? ? 抛物线 1 C的解析式为 213 2 22 yxx=- （2）如图 1， 延长PN交x轴于点H 90AHND= 设(P m， 213 2)(13) 22 mmm-抛物线 2 C顶点式为 221
11、13 ()2 222 yxeee= -+- 当 22211313 ()22 22222 xeeexx-+-=- 解得： 1xe= ， 2 3 2 x = 两抛物线另一交点 3 ( 2 D， 25 ) 8 -为抛物线 1 C顶点 / /EGxQ轴，/ /DFx轴 3 22()23 2 EGDFDQee=-=-， 22 1325139 2 228228 EQeeee=-+=-+ 四边形DFEG是平行四边形 若DFEGY为菱形，则DGDF= Q由抛物线对称性可得：DGDEEF=，DEEFDF=，DEFD是等边三角形 tan3 EQ EDQ DQ =D=， 21393 3() 2282 eee-+=-
12、 解得： 1 3 2 e =（舍去）， 2 3 23 2 e =+ E点的横坐标为 3 (23) 2 +时，四边形DFEG为菱形 练习： 1. （2019 ?禅城区模拟二）如图1，已知抛物线 2 yxbxc= -+与x轴交于(1,0)A -，(3,0)B两点，与y轴交 于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，连接BC，PB，PC，设PBCD的面积为S求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时， PBCD的面积S有最大值； （3） 如图 2， 设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D 在直线l上是否存在点M， 使得四边形CD
13、PM 是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】（1）将(1,0)A -、(3,0)B代入 2 yxbxc= -+， ，得， 10 930 bc bc - -+=? ? ?- += ? ? ，解得， 2 3 b c = ? ? ? = ? ? ， 抛物线的表达式为 2 23yxx= -+； （2）如图 1， 过点P作/ /PFy轴，交BC于点F， 设直线BC的解析式为(0)ymxn m=+1，将(3,0)B、(0,3)C代入ymxn=+，得， 30 3 mn n += ? ? ? = ? ? ， 解得， 1 3 m n = - ? ? ? = ? ? ，直线BC的解析
14、式为3yx= -+， Q点P的坐标为 2 ( ,23)ttt-+，点F的坐标为( ,3)tt-+， 22 23(3)3PFttttt= -+-+= -+， 221393327 () 222228 SPF OBttt= -+= -+g， 3 0 2 -Q，当 3 2 t =时，S取最大值，最大值为 27 8 ； （3）如图 2， 连接PC，交抛物线对称轴l于点E， Q抛物线 2 yxbxc= -+与x轴交于(1,0)A -，(3,0)B两点，抛物线的对称轴为直线1x =， 1 DC xx-=Q，1 PM xx-=，2 P x =，(2,3)P， 在 2 23yxx= -+中，当0 x =时，3y
15、 =， (0,3)C，3 CD yy-=，3 MP yy-=，6 M y=，点M的坐标为(1,6)； 当2 Px 1 时，不存在，理由如下， 若四边形CDPM是平行四边形，则CEPE=， Q点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，点P的横坐标1202t = -=， 又2 P x 1Q，不存在， 综上所述，点M的坐标为(1,6) 2. （2018?三水区二模）如图，对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，(2,3)B-两点 （1）求抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标； （3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C
16、，D，E为顶点的四边形为正方形，直 接写出点E的坐标 【解析】（1）对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -，则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为：(3,0)， 则抛物线的表达式为：(1)(3)ya xx=+-， 将点B的坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为： 2 23yxx=-； （2）设点 2 (,23)P m mm-， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB的表达式为：1yx= -， 当Q是OP中点时，则点 1 ( 2 Qm， 2 23 ) 2 mm- ， 将点Q的坐标代入直线AB的表达式并解得： 15 2 m =， 故点 15 ( 2 P + ， 55) 2 - 或 15 ( 2 - ， 55 ) 2 -+ ； （3）当BC为正方形的对角线时，如图1 所示， 直线AB的表达式为：1yx= -，则点(0,1)C-，点(0,3)D-， 2BDCD=，故点 1(2, 1)E-； 当BC是正方形的一条边时， （
