《2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2021年冲刺中考数学之热点专题二次函数综合专题(解析版)(17页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、热点专题二次函数综合题型 二次函数的综合探究题一直是中考的必考题。通常考查与动点、存在性、相似有关的二次函数综合题, 解答与动点有关的函数探究问题,通常需要把问题拆开,分清动点在不同位置运动,或不同时间段运动时 对应的函数关系式,进而确定函数图象这类问题往往与函数知识、特殊三角形、特殊四边形的性质,以及 分类讨论思想、方程思想、数形结合思想相联系。解题时要特别注意把握题目中的“ 动中有变 (图形的变化 )、 变中有静 (特殊三角形或四边形的性质及其数学思想) ” 的内在规律并注意挖掘隐含条件,综合运用数学知识 解决问题。此类问题的考查形式通常为解答题,解答此类问题时要注意分析问题存在的多种情况
2、。 二次函数综合题型有以下三种常见题型: 题型一:二次函数与线段最值问题; 题型二:二次函数与图形面积问题; 题型三:二次函数与特殊三角形的存在性问题; 题型四:二次函数与特殊四边形的存在性问题。 考向 3二次函数与特殊三角形的存在性问题 例: (2019 ? 梅江区期末)如图1,已知抛物线 2 3(0)yaxbxa=+1与x轴交于点(1,0)A和点(3,0)B -,与y 轴交于点C (1)求抛物线的表达式; (2)如图l,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此 时E点的坐标; (3)如图 2,在x轴上是否存在一点D使得ACDD为等腰三角形?若存在
3、,请求出所有符合条件的点D的 坐标;若不存在,请说明理由 【解析】(1)将点(1,0)A,(3,0)B -代入 2 3yaxbx=+,得, 30 9330 ab ab + +=? ? ? -+= ? ? ,解得, 1 2 a b = - ? ? ? = - ? ? , 抛物线表达式为 2 23yxx= -+; (2)如图 1, 过点E作EFx轴于点F, 设(E a, 2 23)(30)aaa-+-Q,当 3 2 m =时,S取最大值 9 4 , 3 ( 2 P,3); (3)存在,理由如下:如图21-, 当90CPDD=时, 90CODODPCPDD= D= D=Q, 四边形CODP为矩形,3
4、PDCO=, 将3y =代入直线26yx= -+,得, 3 2 x =, 3 ( 2 P,3); 如图22-, 当90PCDD=时,3OC =Q,ODm=, 2222 9CDOCODm=+=+, / /PDOCQ,PDCOCDD= D,coscosPDCOCDD=D, DCOC PDDC =, 2 DCPD OC=g, 2 93(26)mm+=-+, 解得, 1 332m = -(舍去), 2 332m = -+,(33 2P -+,1262)-, 当90PDCD=时,PDxQ轴,不存在, 综上所述,点P的坐标为 3 ( 2 ,3)或(33 2-+,126 2)- 3. (2019 ?香洲区校
5、级模拟)如图,抛物线的顶点(P m,1)(0)m,与y轴的交点 2 (0,1)Cm + (1)求抛物线的解析式(用含m的式子表示) (2)点( ,)N x y在该抛物线上,NH 直线 3 4 y =于点H,点 5 (,) 4 M m且60NMHD= 求证:MNHD是等边三角形; 当点O、P、N在同一直线上时,求m的值 【解析】设抛物线解析式是 2 ()1(0)ya xma=-+1, 将 2 (0,1)Cm +代入,得 22 (0)11amm-+=+解得1a = 故该抛物线解析式是: 2 ()1yxm=-+; (2)根据题意知, 3 4 NHy=- 22225525393 ()()1 42162
6、164 NMxmyyyyyyy=-+-=-+-+=-+=- 则NMNH= 又因为60NMHD=,所以MNHD是等边三角形; 由知,MNHD是等边三角形则 13 () 24 MN yy=-,即 513 () 424 N y=-故 7 4 N y= 由于点 7 ( ,) 4 N x在抛物线 2 ()1yxm=-+上, 27 ()1 4 xm-+= 所以点N的坐标是(x, 2 ()1)xm-+ 设直线OP的解析式是(0)ykx k=1 把(P m,1)(0)m代入,得1mk =解得 1 k m = 故该直线方程是 x y m = 把(N x, 2 ()1)xm-+代入,得 2 ()1 x xm m
7、-+= 联立方程组,解得 2 3 3 m= 4. (2019?汕头市二模)如图,二次函数 2 1 yxbxc=+与 2 2 ()yxcxb bc=+的图象相交于点A,分别与 y轴相交于点C,B,连接AB、AC (1)过点(1,0)作直线l,判断点A与直线l的位置关系,并说明理由 (2)当A、C两点是二次函数 2 1 yxbxc=+图象上的对称点时,求b的值 (3)当ABCD是等边三角形时,求点B的坐标 【解析】(1)联立 1 y、 2 y并解得:1x =,故点(1,1)Abc+,故直线l过点A; (2)由题意得:点B、C的坐标分别为(0, )b、(0, )c, AQ、C两点是二次函数 2 1
8、yxbxc=+图象上的对称点,故点A、C的纵坐标相同, 即:1bcc+=,解得:1b = -; (3)如下图所示,过等边三角形的点A作AHBC, 则点(0,) 2 bc H + ,点(1,1)Abc+, 则1AH =,则 3 tan1tan30 3 HBAHHAB=?窗=, 则 3 23 bc HBb + =-=,而1 2 bc bc + =+, 解得: 33 3 b + = -,故点 33 (0,) 3 B + - 考向 4二次函数与特殊四边形的存在性问题 例: (2019?越秀区校级一模)如图1,抛物线 2 1: 2Cyaxbx=+-与直线 11 : 22 lyx= -交于x轴上的一点A,
9、 和另一点(3, )Bn (1)求抛物线 1C的解析式; (2)点P是抛物线 1 C上的一个动点(点P在A,B两点之间,但不包括A,B两点)PMAB于点M, / /PNy轴交AB于点N,求MN的最大值; (3)如图 2,将抛物线 1 C绕顶点旋转180后,再作适当平移得到抛物线 2 C,已知抛物线 2 C的顶点E在第 一象限的抛物线 1 C上,且抛持线 2 C与抛物线 1 C交于点D, 过点D作/ /DFx轴交抛物线 2 C于点F, 过点E作 / /EGx轴交抛物线 1 C于点G,是否存在这样的抛物线 2 C,使得四边形DFEG为菱形?若存在,请求E点的 横坐标;若不存在,请说明理由 【解析】
10、(1)直线 11 : 22 lyx= -交x轴于点A 11 0 22 x-=,解得:1x = -(1,0)A - Q点(3, )Bn在直线l上 11 32 22 n = - -= -(3,2)B- Q抛物线 2 1:2Cyaxbx=+-经过点A、B 20 9322 ab ab - -= ? ? ? +-= - ? ? 解得: 1 2 3 2 a b ? ? = ? ? ? ? ? = - ? ? ? ? 抛物线 1 C的解析式为 213 2 22 yxx=- (2)如图 1, 延长PN交x轴于点H 90AHND= 设(P m, 213 2)(13) 22 mmm-抛物线 2 C顶点式为 221
11、13 ()2 222 yxeee= -+- 当 22211313 ()22 22222 xeeexx-+-=- 解得: 1xe= , 2 3 2 x = 两抛物线另一交点 3 ( 2 D, 25 ) 8 -为抛物线 1 C顶点 / /EGxQ轴,/ /DFx轴 3 22()23 2 EGDFDQee=-=-, 22 1325139 2 228228 EQeeee=-+=-+ 四边形DFEG是平行四边形 若DFEGY为菱形,则DGDF= Q由抛物线对称性可得:DGDEEF=,DEEFDF=,DEFD是等边三角形 tan3 EQ EDQ DQ =D=, 21393 3() 2282 eee-+=-
12、 解得: 1 3 2 e =(舍去), 2 3 23 2 e =+ E点的横坐标为 3 (23) 2 +时,四边形DFEG为菱形 练习: 1. (2019 ?禅城区模拟二)如图1,已知抛物线 2 yxbxc= -+与x轴交于(1,0)A -,(3,0)B两点,与y轴交 于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t (1)求抛物线的表达式; (2)如图 1,连接BC,PB,PC,设PBCD的面积为S求S关于t的函数表达式,并求出当t为何值时, PBCD的面积S有最大值; (3) 如图 2, 设抛物线的对称轴为直线l,l与x轴的交点为D 在直线l上是否存在点M, 使得四边形CD
13、PM 是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 【解析】(1)将(1,0)A -、(3,0)B代入 2 yxbxc= -+, ,得, 10 930 bc bc - -+=? ? ?- += ? ? ,解得, 2 3 b c = ? ? ? = ? ? , 抛物线的表达式为 2 23yxx= -+; (2)如图 1, 过点P作/ /PFy轴,交BC于点F, 设直线BC的解析式为(0)ymxn m=+1,将(3,0)B、(0,3)C代入ymxn=+,得, 30 3 mn n += ? ? ? = ? ? , 解得, 1 3 m n = - ? ? ? = ? ? ,直线BC的解析
14、式为3yx= -+, Q点P的坐标为 2 ( ,23)ttt-+,点F的坐标为( ,3)tt-+, 22 23(3)3PFttttt= -+-+= -+, 221393327 () 222228 SPF OBttt= -+= -+g, 3 0 2 -Q,当 3 2 t =时,S取最大值,最大值为 27 8 ; (3)如图 2, 连接PC,交抛物线对称轴l于点E, Q抛物线 2 yxbxc= -+与x轴交于(1,0)A -,(3,0)B两点,抛物线的对称轴为直线1x =, 1 DC xx-=Q,1 PM xx-=,2 P x =,(2,3)P, 在 2 23yxx= -+中,当0 x =时,3y
15、 =, (0,3)C,3 CD yy-=,3 MP yy-=,6 M y=,点M的坐标为(1,6); 当2 Px 1 时,不存在,理由如下, 若四边形CDPM是平行四边形,则CEPE=, Q点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,点P的横坐标1202t = -=, 又2 P x 1Q,不存在, 综上所述,点M的坐标为(1,6) 2. (2018?三水区二模)如图,对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -,(2,3)B-两点 (1)求抛物线的解析式; (2)P是抛物线上的动点,连接PO交直线AB于点Q,当Q是OP中点时,求点P的坐标; (3)C在直线AB上,D在抛物线上,E在坐标平面内,以B,C
16、,D,E为顶点的四边形为正方形,直 接写出点E的坐标 【解析】(1)对称轴为1x =的抛物线经过(1,0)A -,则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为:(3,0), 则抛物线的表达式为:(1)(3)ya xx=+-, 将点B的坐标代入上式并解得:1a =,故抛物线的表达式为: 2 23yxx=-; (2)设点 2 (,23)P m mm-, 将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线AB的表达式为:1yx= -, 当Q是OP中点时,则点 1 ( 2 Qm, 2 23 ) 2 mm- , 将点Q的坐标代入直线AB的表达式并解得: 15 2 m =, 故点 15 ( 2 P + , 55) 2 - 或 15 ( 2 - , 55 ) 2 -+ ; (3)当BC为正方形的对角线时,如图1 所示, 直线AB的表达式为:1yx= -,则点(0,1)C-,点(0,3)D-, 2BDCD=,故点 1(2, 1)E-; 当BC是正方形的一条边时, (