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1、第 1 计芝麻开门点到成功 计名释义 七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门”， 讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些 足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范 例题将杨辉三角中的每一个数 r n C 都换成分数 r n Cn) 1( 1 ，就得到一 个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可 以看出 r n x n r n nCCnCn 1 1 )1( 1 )1( 1 ，
2、其中 x . 令 22 1 )1( 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a ，则 n n alim . 分析一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然 大物 . 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 1 1 的主意 . 解将等式 r n x n r n nCCnCn 1 1 )1( 1 )1( 1 与右边的顶点三角形对应（图右），自 然有 2 1 ) 1( 1 r n Cn 2 1 ) 1( 1 x n Cn 1 11 1 r n nC 对此，心算可以得到：n =1，r =0，
3、x=1 对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1 空的答案 . 插语本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是 以点带面， 点到成功 . 要点明的是， 这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三 角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两 脚”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 3 1 . 解在三角形中先找到了数列首项 3 1 ，并将和数列 60 1 30 1 12 1 3 1 n a 中的各 项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an . 这个 an，就等于
4、首项 3 1 左 上角的那个 2 1 . 因为 2 1 在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的 各项（虚线所串）所成数列的极限是0. 因此得到 n n alim 2 1 这就是本题第2 空的答案 . 点评解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数 3 1 ，采用的方法是以点串 线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数 2 1 就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 20 1 这个数开始，向左下连 线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是 20 1 这个数的左上角的那个数 12 1 . 用等式表 示就是 12 1 140 1 6
5、0 1 20 1 链接本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4 分的小题，而是一个10 分以上的大题 . 有关解答附录如下. 法 1 由 r n r n r n nCCnCn 1 1 1 )1( 1 )1( 1 知，可用合项的办法，将 n a 的和式逐步合项. 22 1) 1( 11 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 1122 1 2 4 2 3 2 2 )1( 1 ) 1( 1 ) 1( 11 5 1 4 1 3 1 nnnn CnCnCnnCCCC 11 1 2 1 2 4 2 3 2 2 ) 1( 111 5 1 4 1 3 1 nnn CnnCnCCCC 11
6、2 2 2 ) 1( 1 3 1 3 1 n CnCC 11 1 )1( 1 2 1 n CnC nn)1( 1 2 1 2 1 法 2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 23 1 2 4 1 3 0 2 )1( 11 5 1 4 1 3 1 n n n n n CnnCCCC a 根据第一问所推出的结论只需在原式 基础上增加一项 1 )1( 1 n n Cn ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给 出的数表可逐次向上求和为 2 1 ，故 1 )1( 1 2 1 n n n Cn a ，从而 2 1 ) 1( 1 2 1 limlim 1n n n
7、 n n Cn a 法 3 （2）将 1rx 代入条件式，并变形得 r n r n r n CnnCCn)1( 11 ) 1( 1 1 1 取 , 1r 令 , 3, 2nn 得 1 2 1 1 2 2 3 1 2 1 ) 12( 1 3 1 CCC 1 3 1 2 2 3 4 1 3 1 )13( 1 12 1 CCC ， 1 4 1 3 2 4 5 1 4 1 ) 14( 1 30 1 CCC 1 1 1 1 2 1 1 )1( 11 nnn nCCnnC 11 1 2 ) 1( 11 )1( 1 nnn CnnCCn 以上诸式两边分别相加，得 ) 1( 1 2 1 nn an 2 1 说
8、明以上三法， 都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为 此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练 1如图把椭圆 1 1625 22 yx 的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作x 轴的 垂线交椭圆的上半部分于P1，P2， P7 七个点， F 是椭圆的一个焦 点，则 |P1F|+|P2F|+ +|P7F|=_. 2如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1 中， P，Q 分别是侧棱AA1 ， CC1 上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1A1PQC1 的体积与多面体ABC PB1Q 的体积比值为. 参考解答 1找“点” 椭圆的另一个焦点F2. 连
9、接 P1F2 、P2F2 、 P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70 的一半即35. 2找“点”动点P、Q 的极限点 . 如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点 P 与 A1 重合，动点Q 与 C 重合 . 则多面体蜕变为四棱锥CAA1B1B ，四棱锥蜕化为三棱锥C A1B1C1 . 显然 3 1 111 CBAC V V 棱柱 . 111 CBAC V BBAAC V 11 = 2 1 于是奇兵天降答案为 2 1 . 点评“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个 “点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.
