《数学——数列讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学——数列讲解（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学篇-数列讲解 作者： 日期：第五章 数列学习要求：1.了解数列和其通项公式、前项和的概念2.理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前项和公式解决有关问题.3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前项和公式解决有关问题.一、数列的概念1.定义 按照一定顺序排列的一列数，数列里的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，第项，第一项也叫首项.一般地，常用来表示数列，其中是数列的第项，又叫做数列的通项.数列记为例如,数列 第1项是1，第2项是3，第3项是5，第项是，数列记作2.数列的通项公式数列的第项与项数之间的关系，如果可以用一个公式来
2、表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.例如，数列通项公式是.3.数列的前项和对于数列称为这个数列的前项和，记作.即4.数列的与的关系例1 已知数列的前项和，求数列的通项公式解析: 由得所以，当时当满足公式所以数列的通项公式为历年试题（2014年试题）2.已知数列的前项和，求（I）的前三项；（II）数列的通项公式解析 ：（I） （II）当当时满足所以数列的通项公式为（2007年试题）已知数列前n项和（I）求该数列的通项公式；（II）判断39是该数列的第几项.解: （I）当当时满足所以数列的通项公式为(II)设39是该数列的第项，则,，即39是该数列的第10项二、等差数列1. 等差数列的定义
3、如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为，即等差数列的一般形式为2.等差数列的通项公式设是首项为，公差为的等差数列，则这个数列的通项公式为3.等差数列的前项和公式设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，则或4.等差中项如果称等差数列，就称为与的等差中项，则注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明为常量5. 等差数列的性质（1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列.对于等差数列数列也是等差数列，数列也是等差数列数列也是等差数列例2如在等差数列中，已知，求解析：构成等差数列，因为，
4、所以（2）对等差数列，若均为正整数，且，则如例3在等差数列中，已知，求解析：因为，即所以，例4设为等差数列,其中，则（A）24 （B）127 （C） 30 （D）33解析:解法一 由等差数列的通项公式知解法二为等差数列，所以也是等差数列，所以，是与的等差中项，例5在等差数列中，如果，则_解析：，由得例6等差数列中，若则其前项的和（ ）A. B. C. D.解析：是等差数列，所以，由得，由得，又，所以，选B历年试题（2013年试题）等差数列中，若，则A. 3 B. 4 C. 8 D. 12解析：（2012年试题）已知一个等差数列的首项为，公差为，那么该数列的前项和为（ ） A. B. C. D.
5、 解析：由得选A（2011年试题）已知等差数列的首项与公差相等，的前项的和记作，且.（）求数列的首项及通项公式；（）数列的前多少项的和等于? 解析: （）已知等差数列的公差又即，所以，又，即，所以，即数列的通项公式为（）设，又 ，即，解得（舍去）所以数列的前项的和等于. （2009年试题）面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为，求的值;在以最短边的长为首项，公差为的等差数列中，102为第几项？解析:（I）由已知条件可设直角三角形的边长分别为其中则，得 三边长分别为故三角形三边长分别是.公差 (II)以3为首项，1为公差的等差数列通项公式为故第项为 （2008年试题）已知等差数列
6、中, 求数列的通项公式; 当为何值时, 数列的前项和取得最大值, 并求该最大值.解析: 设等差数列的公差为 由已知 得又已知所以 数列的通项公式为即 解法一：数列的前项和当时，取得最大值.解法二：由知 令所以数列前5项的和最大，最大值为三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为，即等比数列的一般形式为2.等比数列的通项公式设是首项为，公比为的等比数列，则这个数列的通项公式为3.等比数列的前项和公式设是首项为，公比为的等比数列，为其前项和，则或4.等比中项如果称等比数列，就称为与的等比中项，则或注：一
7、般证明一个数列是等比数列时，经常是按它们的定义证明为常量5. 等比数列的性质（1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数列.对于等比数列数列也是等比数列，数列也是等比数列数列也是等比数列例7如在等比数列中, 则（ ） A. 8 B. 24 C. 96 D. 384解析：是等比数列，因为，选C（2）对等比数列，若均为正整数，且，则如例如在等比数列中，已知，求解析：，即例8设等比数列的各项都为正数，若，则公比q=（A）3 （B）2 （C） -2 （D）-3解析:由等比数列的通项公式知例9设等比数列的公比=2，且则（A）8 （B）16 （C） 32 （D）64解析: 由
8、等比数列的通项公式知例10在等比数列中，若，则的公比_解析：，又，所以，即，填例11已知等比数列中，那么它的前项和_解析：由，可求得公比，从而所以，填例12已知等比数列的各项都为正数，前3项的和为14（I）求该数列的通项公式；（II）设求数列的前20项的和解析: （I） 设等比数列的公比为,则(舍去)所以数列的通项公式为（II）则例13 设为等差数列,且公差为正数,已知成等比数列解析: 由为等差数列知由此得历年试题（2015年试题）若等比数列的公比为,则A. B. C. D. （2014年试题）等比数列中,若,公比为,则_（2015年试题）已知等差数列的公差，且成等比数列（I）求数列的通项公式
9、（II）若数列的前项和，求.（2013年试题）已知公比为的等比数列中, （I）求；（II）求的前项和解:（I）由已知得，即，解得（II）（2012年试题）已知等比数列中, （I）求；（II）若的公比且，求的前项和解析:（I）因为为等比数列，所以，又，可得，所以（II）由，得，由得，解方程组，得或由，得或（舍去）所以的前项和（2010年试题）已知数列中，（1）求数列的通项公式（2）求数列前5项的和解析：（1）由已知得所以是以2为首项，为公比的等比数列，所以，即（2）（2006年试题）已知等比数列中, （I）求该数列的通项公式；（II）求该数列的前7项的和解析: （I）因此该数列的通项公式为（II）该数列的前7项的和
