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1、.,1,中国计算机学会“21世纪大学本科计算机专业系列教材”算法设计与分析,王晓东编著,.,2,主要内容介绍,第1章算法引论 第2章递归与分治策略 第3章动态规划 第4章贪心算法 第5章回溯法 第6章分支限界法,.,3,主要内容介绍(续),第7章概率算法 第8章NP完全性理论 第9章近似算法 第10章算法优化策略,.,4,第1章 算法引论,1.1算法与程序 1.2表达算法的抽象机制 1.3描述算法 1.4算法复杂性分析,本章主要知识点:,.,5,1.1算法与程序,输 入:有零个或多个外部量作为算法的输入。 输 出:算法产生至少一个量作为输出。 确定性:组成算法的每条指令清晰、无歧义。 有限性:
2、算法中每条指令的执行次数有限,执行每条指令的时间也有限。,是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)即有限性。,是满足下述性质的指令序列。,算法:,程序:,.,6,1.从机器语言到高级语言的抽象,1.2表达算法的抽象机制,高级程序设计语言的主要好处是:,(4)把繁杂琐碎的事务交给编译程序,所以自动化程度高,开发周期短,程序员可以集中时间和精力从事更重要的创造性劳动,提高程序质量。,(1)高级语言更接近算法语言,易学、易掌握,一般工程技术人员只需 要几周时间的培训就可以胜任程序员的工作;,(2)高级语言为程序员提供了结构化程序设计的环境和工具,使得设计出来的程序可读性好
3、,可维护性强,可靠性高;,(3)高级语言不依赖于机器语言,与具体的计算机硬件关系不大,因而所写出来的程序可植性好、重用率高;,.,7,2.抽象数据类型,1.2表达算法的抽象机制,抽象数据类型是算法的一个数据模型连同定义在该模型上 并作为算法构件的一组运算。,抽象数据类型带给算法设计的好处有:,(1)算法顶层设计与底层实现分离; (2)算法设计与数据结构设计隔开,允许数据结构自由选择; (3)数据模型和该模型上的运算统一在ADT中,便于空间和时间耗费的折衷; (4)用抽象数据类型表述的算法具有很好的可维护性; (5)算法自然呈现模块化; (6)为自顶向下逐步求精和模块化提供有效途径和工具; (7
4、)算法结构清晰,层次分明,便于算法正确性的证明和复杂性的分析。,.,8,在本书中,采用Java语言描述算法。 1.Java程序结构,1.3描述算法,以下,对Java语言的若干重要特性作简要概述。,(1)Java程序的两种类型:应用程序和applet 区别:应用程序的主方法为main,其可在命令行中用命令 语句 java 应用程序名 来执行; applet的主方法为init,其必须嵌入HTML文件,由 Web浏览器或applet阅读器来执行。,(2)包:java程序和类可以包(packages)的形式组织管理。,(3)import语句:在java程序中可用import语句加载所需的包。 例如,i
5、mport java.io.*;语句加载java.io包。,.,9,1.3描述算法,2.Java数据类型,Java对两种数据类型的不同处理方式:,s = new String(“Welcome”); String s = new String(“Welcome”);,.,10,1.3描述算法,表格1-1 Java基本数据类型,.,11,1.3描述算法,3.方法,在Java中,执行特定任务的函数或过程统称为方法(methods) 。 例如,java的Math类给出的常见数学计算的方法如下表所示:,.,12,1.3描述算法,3.方法,计算表达式 值的自定义方法ab描述如下:,public stat
6、ic int ab(int a, int b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2; ,(1)方法参数:Java中所有方法的参数均为值参数。上述方法ab中,a和b是形式参数,在调用方法时通过实际参数赋值。,(2)方法重载:Java允许方法重载,即允许定义有不同签名的同名方法。 上述方法ab可重载为:,public static double ab(double a, double b) return (a+b+Math.abs(a-b)/2.0; ,.,13,1.3描述算法,4.异常,Java的异常提供了一种处理错误的方法。当程序发现一个错误,就引发一个异常,以便在合适地方
7、捕获异常并进行处理。,通常用try块来定义异常处理。每个异常处理由一个catch语句组成。,public static void main(String args) try f ( ); catch (exception1) 异常处理; catch (exception2) 异常处理; finally finally块; ,.,14,1.3描述算法,5.Java的类,(4)访问修饰,Java的类一般由4个部分组成:,(1)类名,(2)数据成员,(3)方法,.,15,1.3描述算法,6.通用方法,下面的方法swap用于交换一维整型数组a的位置i和位置j处的值。,public static voi
8、d swap(int a, int i, int j) int temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,public static void swap(object a, int i, int j) object temp = ai; ai = aj; aj = temp; ,该方法只适用于 整型数组,该方法具有通用性,适用于Object类型及其所有子类,以上方法修改如下:,.,16,1.3描述算法,6.通用方法,(1)Computable界面,public static Computable sum(Computable a, int n) if (a.length
9、= 0) return null; Computable sum = (Computable) a0.zero(); for (int i = 0; i n; i+) sum.increment(ai); return sum; ,利用此界面使 方法sum通用化,.,17,1.3描述算法,6.通用方法,(2)java.lang.Comparable 界面,Java的Comparable 界面中惟一的方法头compareTo用于比较 2个元素的大小。例如java.lang.CpareTo(y) 返回x-y的符号,当xy时返 回正数。,(3)Operable 界面,有些通用方法同时需要Comput
10、able界面和Comparable 界面 的支持。为此可定义Operable界面如下:,public interface Operable extends Computable, Comparable ,(4)自定义包装类,由于Java的包装类如Integer等已定义为final型,因此无法 定义其子类,作进一步扩充。为了需要可自定义包装类。,.,18,1.3描述算法,7.垃圾收集 8.递归,Java的new运算用于分配所需的内存空间。 例如, int a = new int500000; 分配2000000字节空间 给整型数组a。频繁用new分配空间可能会耗尽内存。Java的垃 圾收集器会适
11、时扫描内存,回收不用的空间(垃圾)给new重新 分配。,Java允许方法调用其自身。这类方法称为递归方法。,public static int sum(int a, int n) if (n=0) return 0; else return an-1+sum(a,n-1); ,计算一维整型数组前n个元素之和的递归方法,.,19,1.4算法复杂性分析,算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量, 需要时间资源的量称为时间复杂性,需要的空间资源的 量称为空间复杂性。这个量应该只依赖于算法要解的问 题的规模、算法的输入和算法本身的函数。如果分别用 N、I和A表示算法要解问题的规模、算法的输入和算法
12、本身,而且用C表示复杂性,那么,应该有C=F(N,I,A)。 一般把时间复杂性和空间复杂性分开,并分别用T和S来 表示,则有: T=T(N,I)和S=S(N,I) 。 (通常,让A隐含在复杂性函数名当中),.,20,1.4算法复杂性分析,最坏情况下的时间复杂性:,最好情况下的时间复杂性:,平均情况下的时间复杂性:,其中DN是规模为N的合法输入的集合;I*是DN中使T(N, I*) 达到Tmax(N)的合法输入; 是中使T(N, )达到Tmin(N)的合法 输入;而P(I)是在算法的应用中出现输入I的概率。,.,21,1.4算法复杂性分析,算法复杂性在渐近意义下的阶:,渐近意义下的记号:O、o
13、设f(N)和g(N)是定义在正数集上的正函数。,O的定义:如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时有f(N)Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时上有界,且g(N)是它的一个上界,记为f(N)=O(g(N)。即f(N)的阶不高于g(N)的阶。,根据O的定义,容易证明它有如下运算规则: (1)O(f)+O(g)=O(max(f,g); (2)O(f)+O(g)=O(f+g); (3)O(f)O(g)=O(fg); (4)如果g(N)=O(f(N),则O(f)+O(g)=O(f); (5)O(Cf(N)=O(f(N),其中C是一个正的常数; (6)f=O(f)。,.,22,1.4算法复杂性
14、分析,的定义:如果存在正的常数C和自然数N0,使得当NN0时 有f(N)Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时下有界,且g(N)是它 的一个下界,记为f(N)=(g(N)。即f(N)的阶不低于g(N)的阶。,的定义:定义f(N)= (g(N)当且仅当f(N)=O(g(N)且 f(N)= (g(N)。此时称f(N)与g(N)同阶。,o的定义:对于任意给定的0,都存在正整数N0,使得 当NN0时有f(N)/Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时的阶比 g(N)低,记为f(N)=o(g(N)。 例如,4NlogN+7=o(3N2+4NlogN+7)。,.,23,第2章 递归与分治策略,.,24,
15、将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。,算法总体思想,n,T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n/2),T(n),=,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。,.,25,算法总体思想,对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。,n,T(n),=,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,.,26,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个
16、更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,n,T(n),=,.,27,算法总体思想,将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。,分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题, 分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破, 分而治之。 凡治众如治寡,分数是也。 -孙子兵法,.,28,2.1 递归的概念,直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。,下面来看几个实例。,.,29,2.1 递归的概念,例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为:,