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1、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达法则,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达 目录 上页 下页 返回 结束,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解
2、:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,型未定式,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解:,原式,例4. 求,解: n 为正整数的情形.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,例4.,说明:,1) 例3 , 例4 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例如,而,用洛必达法则,2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 若,例如,极限不存在,机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,例6. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例7. 求,解:,利用 例5,例5 目录 上页 下页 返回 结束,通分,取倒数,取对数,例8. 求,解:,注意到,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,洛必达法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设,是未定式极限 , 如果,不存在 , 是否,的极限也不存在 ?,举例说明 .,极限,说明 目录 上页 下页 返回 结束,原式,分析:,分析:
4、,3.,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“ 洛必达法,的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降,线 ” 问题 ,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书 .,则 ”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求下列极限 :,解:,思考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式 =,解:,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,原式 =,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
