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1、第二节 偏导数,偏导数的定义及其计算法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数 小结、作业,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。 对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。,一、偏导数的定义及其计算法,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,下面讨论 偏导数的计算方法,函数导数的定义进行的：,实质上是,哇！爽！,忘记了, 请赶快复习一下.
2、,如果一元函数的求导方法和公式,多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.,解法一,解法二,解法三,将 y 看成常数,将 x 看成常数,例,解,将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.,将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.,例,解,例,解,例,解,注,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义。,证,警告各位！,.,.,二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.,偏导数的几何意义说明了一个问题:,二、 偏导数存在与连续的关系,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,？,由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,解,但是,反之,解答,不能.,例如,？,想想是什么问题 ?,三、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,=,问题：混合偏导数一定与求导顺序无关吗？,例,解,解,另解,解,证毕,1、偏导数的定义,2、偏导数的计算、偏导数的物理意义 、 偏导数的几何意义,4、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的充分条件）,四、小结,3、偏导数存在与连续性的关系,练习题,练习题答案,2、,作业,P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）,
