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1、第五章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,二、不定积分,三、不定积分的几何意义,一、 原函数,第一节,不定积分的概念,第五章,一、 原函数,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个原函数 .,则称 F (x) 为f (x),如引例中,的原函数,所以,为,的原函数有:,类似例子参见P204:例2,3,4.,又如,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 则原函数不是唯
2、一的. 那么, 它们之间有什么联系呢?,定理1.,存在原函数 .,(下章证明),初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,定理 2.,证: 1),1). 对于任意常数C,则,则,又知,故,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,(P205),若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,二、不定积分,例1 求,解,解,例2 求,三、不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,例3. 设曲线通过点( 1 , 2 )
3、 ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,从不定积分定义可知:,或,或,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,第二节,基本积分公式表,第五章,基本积分表 (P208),( k 为常数),或,或,例1. 求,解: 原式 =,例2. 求,解: 原式=,恒等变形,第三节,不定积分的性质,第五章,不定积分的性质,2. 证:,等式成立.,推论: 若,则,例1. 求,解: 原式 =,分项积分法,例2. 求,解: 原式 =,例3. 求,解: 原式 =,分项积分法,例4. 求,解: 原式 =,分项积分法,类似
4、例子参见P209:例1,3,4.,例5.,解: 总成本 y 是,某化工厂生产某种产品，每日生产的产品,的总成本 y 的变化率（即边际成本）是日产量 x 的,函数：,已知固定成本为1000元，求,总成本与日产量的函数关系。,的原函数，所以,故总成本与日产量的函数关系为：,二、第二类换元法,第四节,一、第一类换元法,换元积分法,第五章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),例1. 求,解: 令,则,原式 =,注: 当,时,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接凑微分),例4. 求
5、,解:,类似,直接凑微分,例5. 求,解:, 原式 =,直接凑微分,常用的几种凑微分形式:,万能凑幂法,例子参见P211:例2,3.,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,(P212 例6 ),例11 . 求,解:,降低幂次后 直接凑微分,例12. 求,解:,原式 =,积化和差后 直接凑微分,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,二次三项式 化去一次项,2. 求,提示:,法1,法2,法3,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,
6、易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,则有换元公式,例13. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例14. 求,解: 令,则,原式,例15. 求,解: 令,则, 原式,例16. 求,解: 令,则, 原式,例17. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,原式,例18. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,倒变换,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,2. 常用基本积分公式的补充 (P211),(7) 分母中因子次数较高时, 可
7、试用倒代换,令,解: 原式,例19. 求,二次三项式 化去一次项,第五节,由导数公式,得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,分部积分法,第五章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,思考 求积分,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3. 求,解: 令,则, 原式,例4. 求,解: 令,则,原式 =,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,思考 求,
8、例5. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,思考. 求,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例8. 求,解: 令,则,原式,令,例9. 求,解: 令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,
