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1、,第九章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,(极小值).,提示: 由题设,例1. 已知函数,(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.,则( ),的某个邻域内连续, 且,A,(2003 考研),说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,
2、据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P121) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,且,例2.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,
3、解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,例3.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小值,为最小值,(大),(大),依据,例4.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m
4、 ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值
5、 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,转化,方法2 拉格朗日乘数法.,分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极,故极值点必满足,记,例如,值问题,故有,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,例6.,要设计一个容量为
6、,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,最省,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利
7、用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知
8、, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,P117 3, 5, 9, 10, 13,习题课,作业,注,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,注,则,注,因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者.,若ABC 位于半圆内(如图) ,则其BC 边上的高,小于A1BC 同边上的高,故前者的面积小于后者，,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束
9、条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2. 求平面上以,3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电,电视机的销售价格为p, 销售量为x,假设该厂的生产处于,平衡状态, 即生产量等于销售量.,根据市场预测, x 与p 满,足关系:,其中M是最大市场需求量, a是价格系数.,又据对生产环节,的分析, 预测每台电视机的生产成本满足:,其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数.,问应如何,确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？,解: 生产x台获得利润,问题化为在条件, 下求,的最大值点.,作拉格朗日函数,令,将代入得,由得,将以上结果及, 代入, 得,解得,因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求.,
