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1、第二讲 积分学,一、不定积分,1.原函数,定义 对函数,若存在函数,使得,则称函数 是函数 的原函数; 原函数的全体,称为函数 的不定积分, 记为,即:,注意: 涉及到原函数的问题是,若 是 的原函数,例1 若 是函数 的原函数, 则,解 由定义得,所以,例2 设 有原函数,求,解,因,所以,从而,2.不定积分的基本方法,第一类换元积分法凑微分法,第二类换元积分法变量替换法,使用变量替换时应注意的几个问题:,对根式问题处理的有效方法;,替换表达式必须是个单调函数;,最终的形式必须写成关于 的函数.,分部积分法,分部积分法使用的几个要点:,函数 的选择;,换元积分法和分部积分法的交替使用;,积分
2、表达式的重复出现.,有理函数的积分高斯分解,三角函数的积分万能代换,尤其注意三种特殊形式下的代换形式,若 则可用代换:,若 则可用代换:,若 则可用代换:,例3 计算不定积分,解 当 时, 令,则有,标准代换,反代换,当 时, 令,由上面计算结果有,例4 求积分,解 令,则,两式相加后得,例5 求积分,解1 用变量替换法,又,所以,从而,解2 用分部积分法,所以,例6 求,解,例7 求积分,解,从而有,令,同理,即有,继续分解有,两边积分之有,例8 求积分,解 因,故原积分为,例9 求积分,解 令,故原积分为,例10 求积分,解 因,所以原积分为,注 积化和差公式,例11 求积分,解,解2,即
3、有,从而有,因此上面积分为,因此原积分为,二、定积分,1.定积分的定义及性质,基本性质,性质 设 及 分别是 在 上的最大值和最,小值, 则,续, 则在区间 上至少存在点 使得下式成立:,性质（定积分中值定理） 如果函数 在 上连,积分中值定理的几何解释:,解 令,例12 求极限,从而,例13 证明不等式,解 此问题是一个极值问题. 令,则,注意到该函数是个开口向上的抛物线, 故驻点即为函数,的极小值点, 因而是被积函数的最大值点. 又,所以,故由积分性质得,例14 设 是区间 上的连续函数, 且,证明,证 对任意的,在区间 使用,中值定理.,记,则有,再由积分性质得,即,例15 设 是区间
4、上的单调增加连续函数,证明,证 由积分中值定理,由此证明了原不等式.,2.变限积分函数及导数,设 是区间 上的连续函数, 记,则 是区间 上的可导函数, 且,上式的更一般形式是,则,若 为连续函数, 是可导函数,更一般的是,则,若,例16 求连续函数 使得,且,解 因,所以原式变形为,两边求导后得到,即有,两边做 上的积分, 则有,即,例17 求常数,使得,解 容易看到该极限为 型. 由罗比达法则,欲使极限存在且不为零, 则必有,此时有,例18 设,证明 在,上有界.,证 因,即,为偶函数. 故只需证明函数 在 上有界即可.,注意到函数 在 上连续, 故只需证明,存在即可.,又,故函数 在 上
5、有界, 又函数在,上,连续, 从而有界, 所以函数 在 上有界.,3.定积分的计算,牛顿莱布尼茨公式,如果函数 函数 是 的一个原,函数, 则,换元积分法,注意四种基本类型和相应的换元方法.,分部积分法,常用的几个积分公式,1.若 则,2.若,并注意到右边的积分与 无关.,3.若 且是周期为 的周期函数, 则,4.,5.,例18 求积分,解,记,则,所以原积分为,例19 设,求,解 由分部积分法,又有积分上限函数的求导公式, 得,而上式的前一项为零, 所以,例20 设,且满足,求,解 令,等式两边积分,例21 求积分,解 因,所以该积分仅为无穷区间上的,广义积分.,又,又,所以,例22 计算积分,解 该函数形式上是反常积分, 本质上还是常义积分.,但要注意符号上的问题.,又,所以, 原积分为,三、典 型 例 题 选 讲,例1 已知 的一个原函数为,求,解 由已知条件及原函数的定义知,而,例2 求积分,解,例3 求积分,解 令,所以原式为,例4 求积分,解,例5 求积分,解,例6 设 在 上连续, 且,证明:,证 由,故对于任意的,存在,当 时, 有,又,注意到,所以,例7 求极限,解 在区间 中有,注意到,同理,所以,例8 设 为连续可微函数, 求,并由此求积分,解,所以,例9 证明,证 因 为单调减少函数, 所以,即有,相加后有,即, 由得,注意到,所以,
