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1、,第一章例题及习题课,第一章,且,思考与练习,证明,证: 令,则,由,消去,得,时,其中,a, b, c 为常数,且,为奇函数 .,为奇函数 .,1. 设,第一节,例1. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,第二节,例2. 设,证明数列,极限存在 .,证: 利用二项式公式 , 有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,
2、此处,故极限存在，,3.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,第三节 例3. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以,不存在 .,思考与练习：,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,？,例 . 证明,任给正数 M ,要使,即,取,对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,渐近线,说明:,证:,第四节,例1. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,第五节,例2. 设 n 次多项式,试证,证:,x = 3 时分母为 0 !,例3. 设有有理函数,
3、其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,例4.,若,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,例8 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则,由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,问,2. 求,解:,原式 =,例1. 求,解: 原式 =,说明: 计算中注意利用,第六节,例2. 求,解: 令
4、,则,说明 ：若利用,则,原式,例3. 求,解: 原式 =,2、两个重要极限,或,内容小结,1、函数极限存在的夹逼准则,思考与练习,例1. 证明: 当,时,证:,第七节,例2. 求,解:,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,3. P65题 2, 5,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,第八节,4. 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,第九节,例3. 求,解:,原式=,例4. 求,解:,原式,
5、说明: 若,则有,例5. 设,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,思考与练习,续?,反例,处处间断,处处连续 .,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,第十节,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,1. 设,一点,思考与练习,至少有一个不超过 4 的正根.,证：,2.证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,重点：函数的概念、极限的概念、极限的求法和函数的连续性及间断
6、点的概念。,难点：极限概念、极限的求法。,习题课,一、 函数,1. 函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,2. 函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,例1. 设函数,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例2.,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ?
7、 为什么?,相同,相同,相同,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,4. 设,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,5. 已知, 求,解:,6. 设,求,解:,二、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则
8、a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例4. 设函数,试确定常数 a 及 b .,例5. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,P64 题2(2), 4; P73 题5,证:,P73 题5. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,
9、无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,常用等价无穷小:,4. 两个重要极限,6. 判断极限不存在的方法,5. 求极限的基本方法,例6. 求下列极限：,提示:,令,则有,复习: 若,例7. 确定常数 a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,例8. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,阅读与练习,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,2. 求,解:,原式 = 1,作业 P74 4(1)(4) ; 6(2); 10 ; 11 ; 13,3. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,
