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1、配餐作业(四十八)利用空间向量求空间角(时间：40分钟)1. (2016东北三省三校联考)如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，ABAE2。(1)求证：BD平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45时，求CF的长度。解析(1)证明：四边形ABCD是菱形，BDAC。AE平面ABCD，BD平面ABCD，BDAE。又ACAEA，BD平面ACFE。(2)如图，以O为原点，为x，y轴正方向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，0)，D(0，0)，E(1,0,2)，F(1,0，a)(a0)，(1,0，a)。设平面EDB
2、的法向量为n(x，y，z)，则有即令z1，n(2,0,1)，由题意sin45|cos，n|，解得a3或。由a0，得a3。所以CF3。答案(1)见解析(2)32. (2016全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H。将DEF沿EF折到DEF的位置，OD。(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值。解析(1)证明：由已知得ACBD，ADCD。又由AECF得，故ACEF。因此EFHD，从而EFDH。由AB5，AC6，得DOBO4。由EFAC得。所以OH1，DHDH3。于是DH2OH2321210DO
3、2，故DHOH。又DHEF，而OHEFH，所以DH平面ABCD。 (2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则H(0,0,0)，A(3，1,0)，B(0，5,0)，C(3，1,0)，D(0,0,3)，(3，4,0)，(6,0,0)，(3,1,3)。设m(x1，y1，z1)是平面ABD的法向量，则即所以可取m(4,3，5)。设n(x2，y2，z2)是平面ACD的法向量，则即所以可取n(0，3,1)。于是cosm，n，sinm，n。因此二面角BDAC的正弦值是。答案(1)见解析(2)3如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1
4、C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F2BF。(1)求证：EFA1C1；(2)在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长；(3)求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值。解析(1)证明：因为A1C1B1D1，A1C1DD1，B1D1DD1D1，所以A1C1平面BB1D1D。因为EF平面BB1D1D，所以EFA1C1。(2)如图，在平面BCC1B1内，过点F作FGAE交棱C1C于点G，此时A，E，G，F四点共面，且C1Gaaa。(3)解法一：延长DB，EF相交于H，连接AH，则AH为平面AEF与平面ABCD的交线，过点B作BIAH(垂足为I
5、)，连接FI，则FIB为所求平面AEF与平面ABCD所成二面角的平面角。因为BFa，DEa，DBa，则BH2a，AHa，由SABHBIAHABBHsin45a2，解得BIa。所以tanFIB，cosFIB。解法二：建立如图所示空间直角坐标系，则A(a,0,0)，F，E，。设平面AEF的一个法向量为n1(x，y，z)，则n10，n10，即取z6，则n1(3，2,6)；又平面ABCD的法向量n2(0,0,1)，设平面AEF与平面ABCD所成二面角为，则cos。答案(1)见解析(2)过点F作FGAE交棱C1C于点G，C1Ga(3)4. (2016浙江高考)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平
6、面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3。(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值。解析(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示。因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以，AC平面BCK，因此，BFAC。又EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，又ACCKC，所以BF平面ACFD。 (2)如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形。取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC。以点O为原点，分别以射线OB，
7、OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz。由题意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0)，E，F。因此(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)。设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)。由得取m(，0，1)；由得于是，cosm，n。所以，二面角BADF的平面角的余弦值为。答案(1)见解析(2)(时间：20分钟)1. (2016天津高考)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2。(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的
8、正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值。解析依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)。(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)。设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0,2,1)，又(0,1，2)，可得n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面ADF。(2)易证，(1,1,0)为平面OEF
9、的一个法向量。依题意，(1,1,0)，(1,1,2)。设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即不妨设x1，可得n2(1，1,1)。因此有cos，n2，于是sin，n2。所以二面角OEFC的正弦值为。(3)由AHHF，得AHAF。因为(1，1，2)，所以，进而有H，从而，因此cos，n2。所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为。答案(1)见解析(2)(3)2如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1。(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线
10、段BQ的长。解析以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。(1)由题意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)。因为(1,1，2)，(0,2，2)，设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，即令y1，解得z1，x1。所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量。从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为。(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)。又(0，2,2)，从而cos，。设12t，t1,3，则cos2，。当且仅当t，即时，|cos，|的最大值为。因为ycosx在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值。又因为BP，所以BQBP。答案(1)(2)8
