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1、【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6-5直接证明与间接证明课时提升作业理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(2016宜昌模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+
2、ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2016东城模拟)在ABC中,sinAsinCcosAcosC,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选C.由sinAsinC0,即cos(A+C)0,所以A+C是锐角,
3、从而B,故ABC必是钝角三角形.【加固训练】若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)0B.a2+b22(a-b-1)C.a2+3ab2b2D.bc,且a+b+c=0,求证0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】选C.ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.6.已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|2,所以不正确;对于,其假设正确.7.(2016福州模拟)设0x0,b0,a,b为常
4、数,+的最小值是()A.4abB.2(a2+b2)C.(a+b)2D.(a-b)2【解析】选C.(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.【加固训练】设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是()A.abcB.bcaC.cabD.acb【解析】选A.因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+0,所以abc.二、填空题(每小题5分,共15分)8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设为.【解析】“xa且xb”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现“x=a且x=b”的错误答案.
5、9.设ab0,m=-,n=,则m,n的大小关系是.【解析】取a=2,b=1,得mn.再用分析法证明:-+ab.答案:mn【加固训练】设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为.【解析】a=+2,b=2+,两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,所以ab.答案:a1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成
6、立,故a,b中至少有一个大于1.答案:(15分钟30分)1.(5分)(2016长沙模拟)设a,b,c都是正数,则a+,b+,c+三个数()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2【解析】选D.因为+=+6,当且仅当a=b=c时取等号,所以三个数中至少有一个不小于2.【加固训练】设x+y=1,x,y(0,+),则x2+y2+xy的最小值为()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为x0,y0且x+y=1,所以xy=,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy1-=,故x2+y2+xy有最小值.2.(5分)(2016福州模拟)如果a+ba+b,则a,b应满足的条件
7、是.【解析】a+ba+b,即(-)2(+)0,需满足a0,b0且ab.答案:a0,b0且ab3.(5分)设a1,nN,若不等式-1恒成立时,则n的最小值为.【解析】n=1时,结论不成立;n=2时,不等式变为2-20,因为a1,所以不等式成立.答案:24.(15分)(2016大同模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,CDA=120,点N在线段PB上,且PN=.(1)求证:BDPC.(2)求证:MN平面PDC.【证明】(1)因为ABC是正三角形,M是AC中点,所以BMAC,即BDAC,又因为PA平面ABCD,所以PAB
8、D,又PAAC=A,所以BD平面PAC,所以BDPC.(2)在正三角形ABC中,BM=2,在ACD中,因为M为AC中点,DMAC,所以AD=CD,ADC=120,所以DM=,所以=,在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=4,PB=4,所以=,所以=,所以MNPD,又MN平面PDC,PD平面PDC,所以MN平面PDC.【加固训练】(2016焦作模拟)已知数列an是各项均为正数且公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,首项为a1.(1)当a1=1,d=2时,证明:为等差数列.(2)求证:数列为等差数列的充要条件是d=2a1.【证明】(1)当a1=1,d=2时,=n,则-=n+1-n=1(常数),所以为等差数列.(2)充分性:若d=2a1,则=n,-=(n+1)-n=(常数),所以为等差数列.必要性:若为等差数列,则2=+,即2=+,两边平方,整理得4a1+d=2,两边再平方,整理得4-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以2a1-d=0,d=2a1.综上,数列为等差数列的充要条件是d=2a1.- 8 - / 8
