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1、【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第六节 利用空间向量求空间角课后作业 理1如图，在四棱锥 PABCD中，PC底面 ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角 PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值2.如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60，侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，CD2，M为PB的中点(1)求证：PA平面CDM；(2)求二面角 DMCB的余弦值3(2015广东高考)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在
2、的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB. (1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值1(2015浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值2.如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦
3、值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长3(2016黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC，ABC60，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转 90，得到梯形ABCD(如图)(1)求证：AC平面ABC；(2)求证：CN平面ADD；(3)求二面角ACNC的余弦值答 案1解：(1)证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ADC90，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC.又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)如图，以C为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则
4、C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)设P(0,0，a)(a0)，则E，取m(1，1,0)，则m为平面PAC的一个法向量即取 xa，ya，z2，则n(a，a，2)依题意，|cosm，n|，则a1. 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.2.解：(1)证明：法一：取PA的中点N，连接MN，DN，又M为PB的中点，所以MNAB，又菱形ABCD中，ABCD，所以MNCD，所以C，D，M，N四点共面取DC的中点为O，连接PO.因为侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，所以PO底面ABCD.因为底面ABCD为菱形且ADC60，DC2，DO1，故OADC.因为POAOO，所以DC平
5、面POA，所以DCPA，在PAD中，PDAD2，N为PA的中点，所以DNPA.又DNDCD，DN平面CDNM，DC平面CDNM，所以PA平面CDNM，即PA平面CDM.法二：取DC的中点为O，连接PO，OA，因为侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD.所以PO底面ABCD，因为底面ABCD为菱形且ADC60.DC2，DO1，有OADC.以O 原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(，0,0)，P(0,0，)，B(，2,0)，C(0，1,0)，D(0，1,0)，所以 M， 观察可知二面角 DMCB为钝角，所以所求二面角的余弦值是.3
6、解：法一：(1)证明：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.又FG平面ABCD，PEFG.(2)由(1)知PE平面ABCD，且AD平面ABCD，PEAD.又四边形ABCD是长方形，ADCD.又PECDE，AD平面PCD，ADPD，PDE为二面角PADC的平面角ABCD6，DE3.在RtPED中，PE ，tanPDE，所求二面角PADC的正切值为.(3)如图，连接AC，在ABC中，AF2FB，CG2GB，FGAC.由异面直线所成角的定义，知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在RtPD
7、A中，PA5，AC3，PC4，cosPAC，直线PA与直线FG所成角的余弦值为.法二：在PCD中，E为CD的中点，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD.取AB的中点H，连接EH.四边形ABCD是长方形，EHCD.如图，以E为原点，EH，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0,0,0)，P(0,0，)，F(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3，0)，D(0，3,0) (2)PE平面ABCD，即令z13，则x10，y1，n(0，3)由图可知
8、二面角PADC是锐角，设为，则sin ，tan . 1解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，DE，A1E.由题意得A1E平面ABC，所以A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A，DEA1A，所以四边形A1AED为平行四边形故A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC. (2)法一：如图，作A1FBD且A1FBDF，连接B1F. 由AEEB，A1EAA1EB90，得A1BA1A4.由A1DB1D，A1BB1B，得A1DB与B1DB全等由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1为二
9、面角A1BDB1的平面角由A1D，A1B4，DA1B90，得BD3，A1FB1F，由余弦定理得cosA1FB1.法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示由题意知各点坐标如下：A1(0,0，)，B(0，0)，D(，0，)，B1(，)设平面A1BD的法向量为m(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n(x2，y2，z2)可取n(，0,1)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为.2.解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(
10、1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2) 设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为. 当且仅当t，即时，的最大值为.因为ycos x在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.3解：(1)证明：ADBC，N是BC的中点，ADNC，又ADBC，四边形ANCD是平行四边形，ANDC，又ABC60，ABBNAD，四边形ANCD是菱形，ACBDCB30，BAC90，即ACAB，又平面CBA平面ABC，平面CBA平面ABCAB，AC平面ABC.(2)证明：ADBC，ADBC，ADADA，BCBCB，平面ADD平面BCC，又CN平面BCC，CN平面ADD.(3)AC平面ABC，AC平面ABC，如图建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，C(0，0)，C(0,0，)，N，设平面CNC的法向量为n(x，y，z)取z1，则x，y1，n(，1,1)AC平面ABC，平面CAN平面ABC，又BDAN，平面CAN平面ABCAN，BD平面CAN.设BD与AN交于点O，则O为AN的中点，故O，由图形可知二面角ACNC为钝角，二面角ACNC的余弦值为.11
