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1、1 热点探究课热点探究课( (三三) )数列中的高考热点问题数列中的高考热点问题 命题解读数列在中学数学中既具有独立性,又具有较强的综合性,是初等数学与 高等数学的一个重要衔接点,从近五年全国卷高考试题来看,解答题第 1 题(全国卷 T17)交 替考查数列与解三角形,本专题的热点题型有:一是等差、等比数列的综合问题;二是数 列的通项与求和;三是数列与函数、不等式的交汇,难度中等 热点 1等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题,关键是理清两种数列的项之间的关系,并注重方程 思想的应用,等差(比)数列共涉及五个量a1,an,Sn,d(q),n, “知三求二” (2016天津高考)已
2、知an是等比数列,前n项和为Sn(nN N*),且 1 a1 1 a2 ,S663. 2 a3 (1)求an的通项公式; (2)若对任意的nN N*,bn是 log2an和 log2an1的等差中项,求数列(1)nb的前 2n 2n项和 解(1)设数列an的公比为q. 由已知,有, 1 a1 1 a1q 2 a1q2 解得q2 或q1. 2 分 又由S6a163,知q1, 1q6 1q 所以a163,得a11. 126 12 所以an2n1. 5 分 (2)由题意,得bn (log2anlog2an1) 1 2 (log22n1log22n)n , 1 2 1 2 即bn是首项为 ,公差为 1
3、 的等差数列. 8 分 1 2 设数列(1)nb的前n项和为Tn,则 2n T2n(bb)(bb)(bb) 2 12 22 32 422n12 2n b1b2b3b4b2n1b2n 2n2. 10 分 2nb1b2n 2 2 规律方法1.若an是等差数列,则ban(b0,且b1)是等比数列;若an是正 项等比数列,则logban(b0,且b1)是等差数列 2对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系,以便实 现等差、等比数列之间的相互转化 对点训练 1已知数列an的前n项和为Sn,常数0,且a1anS1Sn对一切 正整数n都成立 (1)求数列an的通项公式; (2)设a1
4、0,100.当n为何值时,数列的前n项和最大? lg 1 an 【导学号:66482265】 解(1)取n1,得a2S12a1,a1(a12)0. 2 1 若a10,则Sn0. 当n2 时,anSnSn1000, 所以an0(n1). 2 分 若a10,则a1. 2 当n2 时,2anSn,2an1Sn1, 2 2 两式相减得 2an2an1an, 所以an2an1(n2),从而数列an是等比数列, 所以ana12n12n1. 2 2n 综上,当a10 时,an0;当a10 时,an. 5 分 2n (2)当a10,且100 时,令bnlg, 1 an 由(1)知,bnlg2nlg 2. 7
5、分 100 2n 所以数列bn是递减的等差数列,公差为lg 2. b1b2b6lglglg 10, 100 26 100 64 当n7 时,bnb7lglglg 10. 100 27 100 128 故数列的前 6 项和最大. 12 分 lg 1 an 热点 2数列的通项与求和(答题模板) “基本量法”是解决数列通项与求和的常用方法,同时应注意方程思想的应用 3 (本小题满分 12 分)(2016全国卷)已知an是公差为 3 的等差数 列,数列bn满足b11,b2 ,anbn1bn1nbn. 1 3 (1)求an的通项公式; (2)求bn的前n项和 思路点拨(1)取n1,先求出a1,再求an的
6、通项公式 (2)将an代入anbn1bn1nbn,得出数列bn为等比数列,再求bn的前n项和 规范解答(1)由已知,a1b2b2b1,b11,b2 ,得a12. 3 分 1 3 所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为an3n1. 5 分 (2)由(1)知anbn1bn1nbn,得bn1,7 分 bn 3 因此bn是首项为 1,公比为 的等比数列. 9 分 1 3 记bn的前n项和为Sn, 则Sn . 12 分 1(1 3)n 11 3 3 2 1 2 3n1 答题模板第一步:求出an的首项a1; 第二步:求出an的通项公式; 第三步:判定bn为等比数列; 第四步:求出bn
7、的前n项和; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点注意解题规范 温馨提示若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” 首项与公差是 等差数列的“基本量” ,首项与公比是等比数列的“基本量” 在解决等差数列或等比数列 的相关问题时, “基本量法”是常用的方法 对点训练 2数列an满足a11,nan1(n1)ann(n1),nN N*. (1)证明:数列是等差数列; an n (2)设bn3n,求数列bn的前n项和Sn. an 解(1)证明:由已知可得1,2 分 an1 n1 an n 即1. an1 n1 an n 所以是以1 为首项,1 为公差的等差数列. 5 分 an n a1 1 4
8、 (2)由(1)得1(n1)1n,所以ann2. 7 分 an n 从而bnn3n. Sn131232333n3n, 3Sn132233(n1)3nn3n1. 得2Sn31323nn3n1 n3n1. 313n 13 12n3n13 2 所以Sn. 12 分 2n13n13 4 热点 3数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的交汇一般体现在两个方面:一是以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的 点在函数图像上,可以得到数列的递推关系;二是数列的项或前n项和可以看作关于n的 函数,然后利用函数的性质求解数列问题 数列与不等式的交汇考查方式主要有三种:一是判断数列中的一些不等关系;二是以 数列为载体,
9、考查不等式恒成立问题;三是考查与数列有关的不等式的证明 角度 1数列与函数的交汇 (2016湖北七市 4 月联考)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn2n22n. (1)求数列an的通项公式; (2)若点(bn,an)在函数ylog2 x的图像上,求数列bn的前n项和Tn. 【导学号:66482266】 解(1)当n2 时, anSnSn12n22n2(n1)22(n1)4n, 当n1 时,a1S1441, 所以数列an的通项公式为an4n. 5 分 (2)由点(bn,an)在函数ylog2 x的图像上得anlog2bn,且an4n,所以 bn2an24n16n,8 分 故数列bn是以 16
10、为首项,公比为 16 的等比数列 Tn. 12 分 16116n 116 16n116 15 规律方法解决此类问题要抓住一个中心函数,两个密切联系:一是数列和函 数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问题的 基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活的处理 角度 2数列与不等式的交汇 (2017贵阳适应性考试(二)已知数列an满足 5 2an1an2an(nN N*),且a3a720,a2a514. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn . 1 an1an1 1 2 解(1)由 2an1an2
11、an得an为等差数列. 2 分 设等差数列an的公差为d, 由a3a720,a2a514,解得d2,a12, 数列an的通项公式为an2n. 5 分 (2)证明:bn 1 an1an1 1 2n12n1 ,8 分 1 2( 1 2n1 1 2n1) Sn 1 2(1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 2n1 1 2n1) , 1 2(1 1 2n1) 当nN N*,Sn . 12 分 1 2(1 1 2n1) 1 2 规律方法解决数列与不等式的综合问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证 明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式问题要使用不等式的各 种不同解法,如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结 合起来综合处理就行了