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1、寒假作业(八)三角恒等变换与解三角形(注意命题点的区分度)一、选择题1(2017石家庄质检)若sin ()，且，则sin 2的值为()ABC. D.解析：选A因为sin()sin ，所以 cos ，所以 sin 22sin cos 2.2设角的终边过点(2,3)，则 tan()A. BC5 D5解析：选A由于角的终边过点(2,3)，因此tan ，故 tan.3在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为()A. B.C. D3解析：选B由题意及余弦定理可得cos A，sin A ，边AC上的高hABsin A.4(2017南昌模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos
2、 2Asin A，bc2，则ABC的面积为()A. B.C1 D2解析：选A由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积Sbcsin A2.5已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A，ca2，b3，则a()A2 B.C3 D.解析：选A由余弦定理可知，a2b2c22bccos Aa29(a2)223(a2)a2，故选A.6已知，tan，那么sin 2cos 2 的值为()A B.C D.解析：选A由tan，知，tan 2.2，sin 2，cos 2，sin 2cos 2，故选A.7若ABC的三个内角满足，则A
3、()A. B.C. D.或解析：选B由，结合正弦定理，得，整理得b2c2a2bc，所以cos A，由A为三角形的内角，知A.8在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3解析：选Cc2(ab)26，a2b2c22ab6，又cos C，ab6，SABCabsin C6.9若sin()sin cos()cos ，且为第二象限角，则tan()A7 B.C7 D解析：选Bsin()sin cos()cos ，即cos()cos ，即cos .又为第二象限角，tan ，tan.10在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若
4、cos Asin A0，则的值是()A1 B.C. D2解析：选B由cos Asin A0，得sinsin2，即sinsin1，又1，1，所以sinsin1，AB，C，所以abc，.故选B.11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc， 0，a，则bc的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由b2c2a2bc得，cos A，则A，由 0知，B为钝角，又1，则bsin B，csin C，bcsin Bsin Csin Bsinsin Bcos Bsin，B，B，sin，bc.12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin Asin Bsi
5、n C,3b2a,2a2ac18，设ABC的面积为S，paS，则p的最大值是()A. B.C. D.解析：选D在ABC中，由sin Asin Bsin C结合正弦定理可得，c3a3b，再根据3b2a,2a2ac18，可得ac,1a3，由余弦定理可得b2a2a22aacos Bcos B，可得sin B，所以Sacsin Ba2，故paSaa2，根据二次函数的图象可得，当a时，p取得最大值.二、填空题13(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.解析：由正弦定理，得sin B，因为0B180，所以B45或135.因为bc，所以BC，故B45，所
6、以A180604575.答案：7514已知x(kZ)，且cos，则cos 2x的值是_解析：x(kZ)，cos xsin x0，即sin(cos xsin x)0，sin，又cos 2xsin2sincos，cos 2x2.答案：15.(2017福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BA
7、D60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcos BAC，所以(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616ABC的三个内角为A，B，C，若tan，则2cos Bsin 2C的最大值为_解析：tantantan，所以A，所以A，所以tan Atan 1，所以2cos Bsin 2C2cos Bsin2cos Bsin2cos Bcos 2B2cos B2cos2B122，故当
8、cos B时，有最大值.答案：三、解答题17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a3，b4，BA.(1)求tan B的值；(2)求c的值解：(1)a3，b4，4sin A3sin B.由BA得，cos Bsin A，sin Acos B，tan B.(2)tan B，BA，sin B，cos B.又C(AB)，sin Csin(AB)sin，sin Ccos 2B(cos2Bsin2B).cb.18在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos Bbcos A.(1)若sin A，ab10，求a；(2)若b3，a5，求ABC的面积S.解：cos Bbcos A，
9、由正弦定理得cos Bsin Bcos A，即有sin Ccos Bsin Acos Bcos Asin B，则sin Ccos Bsin C.sin C0，cos B.(1)由cos B，得sin B，sin A，又ab10，解得a4.(2)b2a2c22accos B，b3，a5，4525c28c，即c28c200，解得c10或c2(舍去)，Sacsin B51015.19(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长解：(1)由题设得acsin B，即csin B.由
10、正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题设得bcsin A，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.20(2017贵阳检测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc.(1)求角A的大小；(2)若a，求BC边上的中线AM的最大值解：(1)由b2c2a2bc，得cos A，又0A，A.(2)AM是BC边上的中线，在ABM中，AM 22AMcosAMBc2，在ACM中，AM 22AMcosAMCb2，AMBAMC，cosAMBcosAMC0，由得AM 2.又a，b2c23bc，当且仅当“bc”时等号成立，b2c26，AM 2，即AM，BC边上的中线AM的最大值为.9
