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1、寒假作业(五)导数的应用(注意命题点的区分度)一、选择题1函数f(x)3xln x的单调递增区间是()A.B(e，)C. D.解析：选Cf(x)ln x1，由f(x)0，得x，故f(x)的单调递增区间为.2函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1 Bx1Cx1或1或0 Dx0解析：选Cf(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1，又当x1时f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点3(2017长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x
2、1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)，则g(x)，由题意知g(x)0，所以g(x)在R上单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)ex2f(x1)4已知x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为()A15 B16C17 D18解析：选Df(x)3x23a，因为x2是函数f(x)x33ax2的极小值点，所以f(2)123a0，解得a4，所以函数f(x)的解析式为f(x)x312x2，f(
3、x)3x212.由3x2120，得x2，故函数f(x)在(2,2)上是减函数，在(，2)，(2，)上是增函数，由此可知当x2时，函数f(x)取得极大值f(2)18.5若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5,0) B(5,0)C3,0) D(3,0)解析：选C由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知解得a3,0).6(2017浙江高考)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析：选D由f(x
4、)的图象知，f(x)的图象有三个零点，故f(x)在这三个零点处取得极值，排除A、B；记导函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C，故选D.7若函数f(x)cos x2xf，则f与f的大小关系是()Aff BffCff D不确定解析：选C因为f(x)sin x2f，所以fsin 2f，所以f.因为f(x)sin x10恒成立，所以f(x)cos xx是R上的增函数，所以ff.8(2018届高三黄冈调研)定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导
5、函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，y在(0，)上单调递增，即4.xf(x)3f(x)0，0，y在(0，)上单调递减，即8.综上，41，当x时，不等式f(2cos x)2sin2的解集为()A. B.C. D.解析：选D令g(x)f(x)，则g(x)f(x)0，g(x)在R上单调递增，且g(1)f(1)0，f(2cos x)2sin2f(2cos x)g(2cos x)，f(2cos x)2sin2，即g(2cos x)0，2cos x1，又x，x.10已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为()A(，e B0，eC(，e) D0，e)解
6、析：选Af(x)k(x0)设g(x)(x0)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke，选A.11已知函数f(x)x32x24x7，其导函数为f(x)，给出以下命题：f(x)的单调递减区间是；f(x)的极小值是15；当a2时，对任意的x2且xa，恒有f(x)f(a)f(a)(xa)；函数f(x)有且只有一个零点其中真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C易得f(x)3x24x4(x2)(3x2)，令f(x)0，得x0，得x2，结合可知f(x)的极小值是f(2)15；显然
7、当a2时，对任意的x2且xa，恒有f(x)f(a)f(a)(xa)不成立；f0，f(2)150，x1，e时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，所以f(x)极大值f(1)1，又f(e)2e2，f2，即f(e)f，所以方程a2ln xx2在上有解等价于2e2a1，所以a的取值范围为1，e22二、填空题13若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，在(0,1)上是减函数，则实数k_.解析：h(x)2，根据题意，知h(1)0，即2k0，解得k2，经验证，符合题意答案：214若函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)x21.易知f
8、(x)在(，1)和(1，)上单调递减，在1，1上单调递增故函数f(x)在(a,10a2)上存在最大值的条件为即2ax2时，都有f(x1)f(x2)x1x2成立，则实数m的取值范围是_解析：依题意得，对于任意的正数x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)x1f(x2)x2，因此函数g(x)f(x)x在区间(0，)上是增函数，于是当x0时，g(x)f(x)1ex10，即x(ex1)m恒成立记h(x)x(ex1)，x0，则有h(x)(x1)ex1(01)e010，x0，即h(x)在区间(0，)上是增函数，h(x)的值域是(0，)，因此m0，m0.故所求实数m的取值范围是0，)答案：0，)三、解答题1
9、7已知函数f(x)x2aln xb(aR)(1)若曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy30，求实数a，b的值；(2)若x1是函数f(x)的极值点，求实数a的值解：(1)因为f(x)x2aln xb，所以f(x)x(x0)，因为曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，所以即解得(2)因为x1是函数f(x)的极值点，所以f(1)1a0，所以a1.当a1时，f(x)x2ln xb，定义域为(0，)，f(x)x，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以x1是f(x)的极值点，所以a1符合题意18设函数f(x)ln xax(aR)(e为自然对数的底数)(1)判断f(x)的
10、单调性；(2)当f(x)0)，当a0时，f(x)0，此时f(x)在(0，)上是增函数，当a0时，x时，f(x)0，此时f(x)在上是增函数，x时，f(x)0时，f(x)在上是增函数，在上是减函数(2)f(x)在(0，)上恒成立，设g(x)，则g(x)，当x(0，e)时，g(x)0，g(x)为增函数，当x(e，)时，g(x)，所以a的取值范围是.19(2017全国卷)设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围解：(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，则h(x)xex0(x0)因此h(x)在0，)上单调递减，又h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.当0a1时，设函数g(x)exx1，则g(x)ex10(x0)，所以g(x)
